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《概率论与数理统计》习题解答
王松桂、张忠占、程维虎等，第三版，科学出版社
习题一
1.1写出下列随机试验的样本空间：(1)某篮球运动员投篮时,连续5次都命中,观察其投篮次数；解：由题意知，该实验要求，只有连续5次投篮都命中，才能算完成一次试验。所以在一次试验中，至少要投5次以上。该试验的所有可能的基本结果构成的样本空间为?={“共投篮5次，都命中”，“共投篮6次，第1次未中，后五次均命中”，“共投篮7次，第2次未投中，最后5次均命中”，“共投篮8次，第3次未投中，最后5次均命中”，┆“共投篮n次，前n-6次中没有连续5次投中的情况且第n-5次未中，最后5次均命中”，┆}.虽然基本事件用文字表述能帮助理解，但是比较繁琐。注意到试验的基本结果中主要区别为投篮总次数，且一旦给定投篮总次数，就可明确其它内容表述方式。例如，按照题意要求，若完成一次试验共投篮12次，立刻知道其对应的基本事件为“共投篮12次，其中前6次中没有连续投中5次的情况，第7次未中，最后5次连续投中”。为简单起见，每个基本结果都可用该结果投篮总次数这个数字表示。此时，该试验的样本空间可以简写为??
?5,6,7,8，??.(2)掷一颗匀称的骰子两次,观察前后两次出现的点数之和;解：由题意知，该实验共有11个基本结果，其样本空间为为方便表述，第一个筛子与第二个有区别，共有36个排列。?={“点数之和为2”，┈┈两个骰子的点数为（1,1），注意，两个点数有次序；“点数之和为3”，┈┈两个骰子的点数为：（1,2）或（2,1）“点数之和为4”，┈┈两个骰子的点数为：（1,3）或（2,2）或（3,1）“点数之和为5”，┈┈两个骰子的点数为：（1,4）或（2,3）或（3,2）或（4,1）“点数之和为6”，┈┈两个骰子的点数为：（1,5）或（2,4）或（3,3）或（4,2）或（5,1）“点数之和为7”，┈┈两个骰子的点数为：（1,6）或（2,5）或（3,4）或（4,3）或（5,2）或（6,1）“点数之和为8”，┈┈两个骰子的点数为：（2,6）或（3,5）或（4,4）或（5,3）或（6,2）“点数之和为9”，┈┈两个骰子的点数为：（3,6）或（4,5）或（5,4）或（6,3）“点数之和为10”，┈┈两个骰子的点数为：（4,6）或（5,5）或（6,4）“点数之和为11”，┈┈两个骰子的点数为：（5,6）或（6,5）“点数之和为12”，┈┈两个骰子的点数为：（6,6）}.如果用每个结果中的数字表示该基本事件，则样本空间可写为???2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12?.1注意：你仅购买了个人使用权
(3)观察某医院一天内前来就诊的人数;解：不考虑医院的接待能力，仅从理论的角度看，一天内到医院就诊的人数可以从0到无穷，所以该试验的基本结果有可数个（或可列个）。从而该实验的样本空间为?={“一天内共有0人前来就诊”，“一天内共有1人前来就诊”，“一天内共有2人前来就诊”，┆“一天内前来就诊的共有n人”，┆}.把基本结果与数字对应后，样本空间可简写为?.???0,1,2，?，n,??或???n|n?0,n?N(自然数集)
(4)从编号为1，2，3，4，5的5件产品中任意取出两件,观察取出哪两件产
品;
思路分析：一般地，从5件产品中抽取2件共有3种方式：①每次取一件，观察后放回；再进行下次抽取，共抽取两次；（有放回）②每次取一件，抽出产品不放回，下次仅在余下产品中抽取，共抽取两次；（不放回）③每次取2件，共抽取一次。（“一把抓”）抽取方式不同，试验的基本结果也有较大差异。下面分别讲解。①有放回抽取方式如果抽取是有放回的，则两个产品的编号有次序，且允许两次抽取产品的编号相同。一般地，第一次抽取产品的编号在前、第二次的编号在后，两件产品的编号构成一个有序数对。每个数对就是试验的一个基本结果。此时，所有可能的基本结果的总个数需要用乘法原理求得，因为第一抽取共有5种结果、第二次抽取也有5种结果，所以两次抽取的基本结果总数为5?5=25个。从而样本空间有25个元素（这里每个元素是一个有序数对），为??{（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5）}.也可简写为??
??i,j?||1?i,j?5?.②不放回抽取方式如果抽取是不放回的且每次取一件，则两个产品的编号有次序，但不允许两次抽取产品的编号相同。一般地，第一次抽取产品的编号在前、第二次的编号在后，两件产品的编号构成一个有序数对。每个数对就是试验的一个基本结果。此时，该试验所有可能的基本结果的总数有两类求法。2注意：你仅购买了个人使用权
方法一、可由排列数公式求得，两次抽取的基本结果总数为P52?
5!
?5?4?20.(5?2)!
补充知识：?排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．?排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列。?求排列数的公式为Pnm?
n!
?n?(n?1)???(n?m?1)
(n?m)!
补充完毕方法二、也可按照乘法原理求，因为第一抽取共有5种结果、第二次抽取仅有4种结果，所以两次抽取的基本结果总数为5?4=20个。从而，样本空间有20个元素（这里每个元素是一个有序数对），为（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（2,1），（2,3），（2,4），（2,5），（3,1），（3,2），（3,4），（3,5），（4,1），（4,2），（4,3），（4,5），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）}.也可简写为??{??
??i,j?||1?i,j?5且i?j?.③“一把抓”的抽取方式如果抽取是一次性抽取了两件产品，则两个产品的编号没有先后次序，且不会出现“抽取产品编号相同”的情况。一般地，抽到的两个产品编号小的产品在前、编号大在后，两个编号构成一个含两元素的小数集。每个小数集就是该试验方式下的一个基本结果。此时，该试验所有可能的基本结果总个数只能用组合数公式求得，为2C5?
5!
?10.2!?(5?2)!
补充知识：?组合：从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组，叫做从m个不同元素中取出n个元素的一个组合；?从m个不同元素中取出n(n≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m个不同元素中取出n个元素的组合数。?求组合数公式为mCn?
n!
m!??n?m?!
补充完毕3注意：你仅购买了个人使用权
从而，样本空间有10个元素（这里每个元素是一个组合（两元素的小数集）），为??{{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}}.也可简写为??
??i,j?||1?i?j?5?.解：在本题中，要求从5件产品中任取两件，可以理解为不放回抽取，也可理解为“一把抓”抽取方式。但题意更倾向于“一把抓”的含义。为此每次抽到的两个产品的编号是一个组合，该组合就是试验的一个基本结果。此时，该试验的所有可能的基本结果总数只能用组合数公式求得，为2C5?
5!
?10.2!?(5?2)!
从而,样本空间有10个元素（这里每个元素是一个组合），为??{{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}}.也可简写为??
??i,j?||1?i?j?5?.(5)检查两件产品是否合格;解：根据题意可知，为方便解题。认为两个产品有区别，分别编号为产品一、二。检查后不外乎4个基本结果，它们构成了样本空间??{（第一个产品合格，第二个产品合格），（第一个产品合格，第二个产品不合格），（第一个产品不合格，第二个产品合格），（第一个产品不合格，第二个产不品合格）}也可用下列简单形式：若用0表示“合格”,1表示“不合格”，使用序数对的第一个位置表示产品一的结果、第二个位置为产品二的情况，则该试验的每个基本结果可用一个有序数对表示。此时，试验的样本空间为??{（0,0），（0，1），（1,0），（1,1）}说明：若不区分产品，而样本空间写为{两个都合格，一个合格一个不合格，两个都不合格}，则此处的基本结果“一个合格一个不合格”与“两个都不合格”出现的可能性不相等，不利于将来概率计算。(6)观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1,最高气温不高于4注意：你仅购买了个人使用权
T2);解：用x表示最低气温,y表示最高气温。如果同时考察最低气温和最高气温，一般地把最低气温作为第一个坐标、最高气温为第二坐标，这时，单次试验观察到的结果是一个有序数对x,y，它是二维空间的一个点，且有x?y的特点。所以，该试验的样本空间是二维空间的一个子集，用集合的形式可写为????
用图形可表示为??x,y?|T
1?x?y?T2?.最高气温x=yT2ΩT1T1T2最低气温讨论:首先，同时考察最低气温和最高气温的样本空间，不仅可用于分析最低气温的规律，也可来探讨最高气温的规律，还可以研究最低气温与最高气温之间相互影响的规律。其次，如果仅关心最低气温的规律，只需用下列一维样本空间?1??x|T1?x?T2?；当仅研究最高气温的规律时，只需用一维样本空间?2??y|T1?y?T2?.(7)在单位圆内任取两点,观察这两点的距离;解：记两点的距离为l；由于圆内最长线段就是直径2，所以，最短距离为0，最长距离为2,从而，观察的结果有无穷多个且不可数。此时样本空间集合形式为???l|0?l?2?.5
王松桂张忠占等第三版概率论与数理统计科学出版社习题详细习题解答第1-3章
