学习必备 欢迎下载
又由cosβ=?5,β是第三象限角,得 132sinβ=?1?cos???1?(?5212)??. 1313所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =(?)?(?35541233)??(?)??. 1351365 点评:本题是直接运用公式C(α-β)求值的基础练习,但必须思考使用公式前应作出的必要
准备.特别是运用同角三角函数平方关系式求值时,一定要弄清角的范围,准确判断三角函数值的符号.教师可提醒学生注意这点,养成良好的学习习惯. 变式训练 已知sinα=
45,α∈(0,π),cosβ=?,β是第三象限角,求cos(α-β)的值. 5134234?2,π)时,且sinα=,得cosα=?1?sina??1?()??,
5552解:①当α∈［又由cosβ=?5,β是第三象限角,得 132sinβ=?1?cos???1?(?5212)=?. 1313所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
541233. )??(?)??1351365.4?②当α∈(0,)时,且sinα=,得
52=(?)?(?cosα=1?sina?1?()?又由cosβ=?2354523, 55,β是第三象限角,得 132sinβ=?1?cos???1?(?5212)??. 1313所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =
3541263?(?)??(?)??. 51351365 点评:本题与例2的显著的不同点就是角α的范围不同.由于α∈(0,π),这样cosα的符号可正、可负,需讨论,教师引导学生运用分类讨论的思想,对角α进行分类讨论,从而培养学生思维的严密性和逻辑的条理性.教师强调分类时要不重不漏.
思路2
例1 计算:(1)cos(-15°); (2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°;
学习必备 欢迎下载
(3)sinxsin(x+y)＋cosxcos(x+y).
活动:教师可以大胆放给学生自己探究,点拨学生分析题目中的角-15°,思考它可以拆分为哪些特殊角的差,如-15°=15°-30°或-15°=45°-60°,然后套用公式求值即可.也可化cos(-15°)=cos15°再求值.让学生细心观察(2)(3)可知,其形式与公式C(α-β)的右边一致,从而化为特殊角的余弦函数. 解:(1)原式=cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°＋sin45°sin30° =
2321????22226?2. 4(2)原式=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0. (3)原式=cos［x-(x+y)］=cos(-y)=cosy.
点评:本例重点是训练学生灵活运用两角差的余弦公式进行计算求值,从不同角度培养学生正用、逆用、变形用公式解决问题的能力,为后面公式的学习打下牢固的基础. 例2 已知cosα=
111?,cos(α+β)=?,且α、β∈(0, ),求cosβ的值. 7142 活动:教师引导学生观察题目中的条件与所求,让学生探究α、α+β、β之间的关系,也就是
寻找已知条件中的角与所求角的关系.学生通过探究、讨论不难得到β=(α+β)-α的关系式,然后利用公式C(α-β)求值即可.但还应提醒学生注意由α、β的取值范围求出α+β的取值范围,这是很关键的一点,从而判断sin(α+β)的符号进而求出cosβ.
?),∴α+β∈(0,π). 2111又∵cosα=,cos(α+β)=?,
714解:∵α、β∈(0,∴sinα=1?cosa?243, 753. 14sin(α+β)=1?cos(a??)?2又∵β=(α+β)-α,
∴cosβ=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα =(?11153431)????. 1471472 点评:本题相对于例1难度大有提高,但是只要引导适当,学生不难得到β=(α+β)-α的关系式,继而运用公式解决.但值得注意的是α+β的取值范围确定,也是很关键的,这是我们以后解题当中常见的问题. 变式训练 1.求值:cos15°+sin15°. 解:原式=2(22cos15°+sin15°)=2(cos45°cos15°+sin45°sin15°) 22=2cos(45°-15°)= 2cos30°=
6. 2学习必备 欢迎下载
34,cosα+cosβ=,求cos(α-β)的值. 5534解:∵(sinα+sinβ)2=()2,(cosα+cosβ)2=()2,
552.已知sinα+sinβ=
以上两式展开两边分别相加得2+2cos(α-β)=1, ∴cos(α-β)=?1. 2 点评:本题又是公式C(α-β)的典型应用,解决问题的关键就是将已知中的两个和式两边平方,从而得到公式C(α-β)中cosαcosβ和sinαsinβ的值,即可求得cos(α-β)的值,本题培养了学生综合运用三角函数公式解决问题的能力.
41,tan(α-β)=?,求cosβ. 5343解:∵α为锐角,且cosα=,得sinα=.
55??又∵0<α<,0<β<,
22??∴-<α-β<.
221又∵tan(α-β)= ?<0,
33.已知锐角α、β满足cosα=∴cos(α-β)=
310.
从而sin(α-β)=tan(α-β)cos(α-β)=?110.
∴cosβ=cos［α-(α-β)］=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β) =
3314??(?). ×510510910. 50=
知能训练
课本本节练习. 解答: 1.(1)cos(
???-α)=coscosα+sinsinα=sinα. 222(2)cos(2π-α)=cos2πcosα+sin2πsinα=cosα. 2.
2. 10153?8. 343.
学习必备 欢迎下载
4.
27?35.
12课堂小结
1.先由学生自己思考、回顾公式的推导过程,观察公式的特征,特别要注意公式既可正用、逆用,还可变用及掌握变角和拆角的思想方法解决问题.然后教师引导学生围绕以下知识点小结:(1)怎么联系有关知识进行新知识的探究？(2)利用差角余弦公式方面:对公式结构和功能的认识;三角变换的特点.
2.教师画龙点睛:本节课要理解并掌握两角差的余弦公式及其推导,要正确熟练地运用公式进行解题,在解题时要注意分析三角函数名称、角的关系,准确判断三角函数值的符号.多对题目进行一题多解,从中比较最佳解决问题的途径,以达到优化解题过程,规范解题步骤,领悟变换思路,强化数学思想方法之目的. 作业
课本习题3.1 A组2、3、4、5.
设计感想
1.本节课是典型的公式教学模式,因此本节课的设计流程为“实际问题→猜想→探索推导→记忆→应用”.它充分展示了公式教学中以学生为主体,进行主动探索数学知识发生、发展的过程.同时充分发挥教师的主导作用,引导学生利用旧知识推导、证明新知识,并学会记忆公式的方法,灵活运用公式解决实际问题,从而培养学生独立探索数学知识的能力,增强学生的应用意识,激发学生学习的积极性.
2.纵观本教案的设计,学生发现推导出公式C(α-β)后就是应用,同时如何训练公式的正用、逆用、变形用也是本节的重点难点.而学生从探究活动过程中学会了怎样去发现数学规律,又发现了怎样逆用公式及活用公式,那才是深层的,那才是我们中学数学教育的最终目的.
3.教学矛盾的主要方面是学生的学,学是中心,会学是目的,根据高中三角函数的推理特点,本节主要是教给学生“研究问题、猜想探索公式、验证特殊情形、推导公式、学习应用”的探索创新式学习方法.这样做增强了学生的参与意识,教给了学生发现规律、探索推导,获取新知的途径,让学生真正尝到探索的喜悦,真正成为教学的主体.学生体会到数学的美,产生一种成功感,从而提高了学习数学的兴趣.
高中数学必修4教案三角恒等变换
