第十章 圆锥曲线
本章知识结构图
曲线与方程 轨迹方程的求法：直接法、定义法、相关点法 定义及标准方程 性质 离心率 范围、对称性、顶点、焦点、长轴（实轴）、短轴（虚轴）、渐近线（双曲线）、准线（只要求抛物线）
圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线
对称性问题 关于点(a，b)对称点(2a－x1，2b－y1) 点(x1，y1) ───────→中心对称 关于点(a，b)对称曲线f (2a－x，2b－y) 曲线f (x，y) ───────→
轴对称 点(x1，y1)与点(x2，y2)关于直线Ax＋By＋C＝0对称 特殊对称轴 x±y＋C＝0
x1＋x2y1＋y2??A·2＋B·2＋C＝0?y2－y1A?x2－x1·(－B)＝－1? 直接代入法 第一节 椭圆及其性质
考纲解读
1. 了解圆锥曲线的实际背景及其在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2. 掌握椭圆的定义，标准方程，几何图形及其简单性质 3. 了解椭圆的简单应用 4. 理解数形结合的思想 命题趋势研究
椭圆是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查椭圆的基本性质，椭圆方程的求法，椭圆定义的运用和椭圆中各个量的计算，尤其是对离心率的求解，更是高考的热点问题，在各种题型中均有题型
预测2019年高考对本节考查内容为：
（1） 利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率的求值及取值范围问题.
（2） 利用已知条件求出椭圆的方程，特别是与向量结合求方程更是重点.椭圆的定义，标
准方程和几何性质及直线相交问题的考查以中档题目为主，每年高考分值大多保持在5分.
知识点精讲
一、椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a（2a?|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作2c，定义用集合语言表示为：?P||PF1|?|PF2|?2a(2a?|F1F2|?2c?0)? 注明：当2a?2c时，点的轨迹是线段；
当2a?2c时，点的轨迹不存在. 二、椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示.（如下表10-1） 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 x2y2?2?1?a?b?0? 2aby2x2?2?1?a?b?0? 2ab统一方程 mx2?ny2?1(m?0,n?0,m?n) ?x?acos? ,?为参数（??[0,2?]）参数方程 ??y?bsin??x?acos?,?为参数（??[0,2?]）??y?bsin? F2的距离之和等于常数2a，即|MF1|?|MF2|?2a（2a?|F1F2|） 第一定义 到两定点F1、范围 ?a?x?a且?b?y?b ?1??a,0?、?2?a,0? ?b?x?b且?a?y?a ?1?0,?a?、?2?0,a? ?1??b,0?、?2?b,0? 顶点 ?1?0,?b?、?2?0,b? 轴长 对称性 焦点 长轴长?2a 短轴长?2b 长轴长?2a 短轴长?2b 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 F1??c,0?、F2?c,0? F1?0,?c?、F2?0,c? 焦距 F1F2?2c(c2?a2?b2) cc2a2?b2b2e????1?2aa2a2aa2（不考） x??c202202离心率 (0?e?1) 准线方程 ?外??1xy?????1?点(x0,y0)在椭圆?上点和椭圆 ab??内的关系 ??1? ?外??1yx?????1?点(x0,y0)在椭圆?上 ab????1?内202202x0xy0y?2?1((x0,y0)为切点） 2ab切线方程 y0yx0x?2?1((x0,y0)为切点） 2ab22对于过椭圆上一点(x0,y0)的切线方程，只需将椭圆方程中x换为x0x，y换为y0y便得 切点弦所在 的直线方程 x0xy0y?2?1(点(x0,y0)在椭圆外） 2aby0yx0x?2?1(点(x0,y0)在椭圆外） 2ab2b2①cos???1,?max??F1BF2,(B为短轴的端点） r1r2②S?PF1F2??c|y0|,焦点在x轴上1??r1r2sin??b2tan??(???F1PF2) 22??c|x0|,焦点在y轴上焦点三角形面积 ?min=b2?当P点在长轴端点时,（r1r2）③?2当P点在短轴端点时,（rr）max=a??12焦点三角形中一般要用到的关系是 a2a?2c）?|MF1|?|MF2|?2（?1?S?|PF1||PF2|sin?F1PF2) ??PF1F22?222??|F1F2|?|PF1|?|PF2|?2|PF1||PF2|cos?F1PF2左焦半径：MF1?a?ex0 焦半径 又焦半径：MF1?a?ex0 上焦半径：MF1?a?ey0 下焦半径：MF1?a?ey0 焦半径最大值a?c，最小值a?c 通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长=2b（最短的过焦点的弦） a设直线与椭圆的两个交点为A(x1,y1)，B(x2,y2),kAB?k, 则弦长AB?1?k2x1?x2?1?k2(x1?x2)2?4x1x2 弦长公式 2?1??122(y?y)?4yy ?1?k1212k2|a|2（其中a是消y后关于x的一元二次方程的x的系数，?是判别式）
题型归纳及思路提示
题型136 椭圆的定义与标准方程
思路提示
（1）定义法：根据椭圆定义，确定a,b的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程. （2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件列出a,b,c的方程组，解出a,b，从而求得标准方程. 注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为
2222Ax2?By2?1(A?0,B?0,A?B).
x2y2x2y2??1共焦点的椭圆可设为??1(k??m,k??n,m?n). ②与椭圆
mnm?kn?kx2y2x2y2③与椭圆2?2?1(a?b?0)有相同离心率的椭圆，可设为2?2?k1（k1?0，
ababx2y2焦点在x轴上）或2?2?k2（k2?0，焦点在y轴上）.
ab一．椭圆的定义与标准方程的求解
例10.1 动点P到两定点F1(?4,0),F2(4,0)的距离之和为10，则动点P的轨迹方程是
（ ）
x2y2x2y2x2y2x2y2??1 B. ??1 C. ??1 D. ??1 A.
169259251610036解析 依题意，动点P的轨迹是椭圆，且焦点在x轴上，设方程为
x2y222??1(a?b?0)，由，得c?4,2a?10,a?5b?a?c?3，则椭圆方程为22abx2y2??1，故选B. 259变式1 求焦点的坐标分别为F1(?4,0),F2(4,0)，且过点P(16,3)的椭圆的方程. 545和3变式2 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为25，过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程. 3例10.2 在△ABC，已知A(?2,0),B(2,0)，动点C使得△ABC的周长为10，则动
点C的轨迹方程为_________.
解析 由题意|CA|?|CB|?10?|AB|?10?4?6?|AB|，故动点C的轨迹是以
222，即a?3,c?2，则b?a?c?5，A,B为焦点，长轴长为6的椭圆（除去左右顶点）
x2y2??1(y?0) 则轨迹方程为95变式1 已知动圆P过定点A(?3,0)，且与圆B:(x?3)?y?64相切，求动圆圆心
22P的轨迹方程.
2222变式2 已知一动圆与圆O1:(x?3)?y?1外切，与圆O2:(x?3)?y?81内切，
试求动圆圆心的轨迹方程.
2222变式3 已知圆O1:(x?2)?y?16，圆圆O2:(x?2)?y?4，动圆P与圆O1内
切，与圆O2外切，求动圆圆心P的轨迹方程.
例10.3 已知椭圆的长轴长是8，离心率是
3，则此椭圆的标准方程是（ ） 4x2y2x2y2x2y2??1 B. ??1或??1 A.
169167716x2y2x2y2x2y2??1 D. ??1或??1 C.
162516252516解析 因为椭圆的长轴长是8，即2a?8，所以a?4，离心率为
3c3，则?,c?3，4a4x2y2x2y2??1或??1.故选B 所以b?a?c?7，所以椭圆的标准方程是
167716222
变式1 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1,F2在x轴上，离心
率为2.过F1的直线l交C于A,B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为2__________.
变式2 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为圆的方程为_________. 变式3 经过A(1,5，且过P(?5,4)，则椭5210315),B(,)两点的椭圆的标准方程是________________. 322二．椭圆方程的充要条件
x2y2??1表示椭圆，则k的取值范围是__________. 例10.3 若方程
5?kk?3?5?k?0?解析 由题意可知?k?3?0，解得3?k?4或4?k?5
?5?k?k?3?故k的取值范围为(3,4)?(4,5) 评注 易错点：忽略5?k?k?3.
x2y2??1表示椭圆的充要条件为：m?0,n?0,m?n； mnx2y2??1表示双曲线方程的充要条件为：mn?0： mnx2y2??1表示圆方程的充要条件为：m?n?0： mn变式1 如果x?ky?2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是___________. 变式2 “m?n?0”是“方程mx?ny?1表示焦点在y轴上的椭圆”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
变式3 若方程(5?m)x?(m?2)y?8表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是____________.
222222题型137 离心率的值及取值范围
思路提示
求离心率的本质就是探究a,c之间的数量关系，知道a,b,c中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出e的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法和定义法.
x2y2例10.4 已知椭圆2?2?1(a?b?0)
ab(1)若长轴长，短轴长，焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为__________. (2)若长轴长，短轴长，焦距成等比数列，则该椭圆的离心率为__________. 解析 （1）由题设可知2b?a?c，且a?b?c，故b?a?c?(222222a?c2)， 2a?c，即3a?5c， 4c3所以e??.
a5即a?c?（2）由题设可知b?ac，且a?b?c，故a?c?ac，
222222即c?ac?a?0，所以e?22c可得， ae2?e?1?0，解得e?5?1. 25?1?1?5或e?（舍去） 22所以e?x2y2变式1 椭圆2?2?1(a?b?0)的左右顶点分别是A,B，左右焦点分别是F1,F2.
ab若|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等差数列，则此椭圆的离心率为____________.
x2y2变式2 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，
ab若?BAO??BFO?90，则该椭圆的离心率是___________.
0x2y2F2为右焦例10.6 过椭圆2?2?1(a?b?0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，
ab点，若?F1PF2=60，则椭圆的离心率为( )
0A.
3211 B. C. D.
32230解析 解法一：（定义法）令|PF1|=1，则在RtVPF1F2中，由?F1PF2=60，
2a?|PF1|?|PF2|?3，2c?3， 可知|PF2|=2,|F1F2|=3，由椭圆定义得所以e?2c3?.故选B. 2a3b200解法二 因为P(?c,?)，再由?F1PF2=60，所以?PF2F1=30，得|PF2|=2|PF1|，
a3b2b22b23223|PF1?2a,?2a,2a?3b，故2?所以e?1?2?.故选B .
a3aa3|FF|b20解法三 同解法二，因为P(?c,?)，在RtVPF1F2中，得12=tan60?3，即|PF1|a2c2ac?2?3，故有b2ba2ac?3b2?3(a2?c2),3c2?2ac?3a2?0,3e2?2e?3?0
所以e?3或e??3.故选B . 3评注 求离心率的过程就是探求基本量a,b,c的齐次式间的等量关系，常见的离心率公
cb2b2式应熟悉：①e?；②e?1?2（椭圆）③e?1?2（双曲线），另外，在求解离
aaa心率过程中要有以下意识：①利用定义的意识（定义中有2a，且F②获得了a,b,c1F2?2c）中的任意的两个参数间的数量关系都可以求解离心率e.
变式1 已知正方形ABCD，以A,B为焦点，且过C,D两点的椭圆的离心率为______.
x2y2变式2 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1，F2，且F1F2?2c，
abuuuruuuur2xeAF点A在椭圆上，且1垂直于轴，AF1?AF2?c，则椭圆的离心率等于（ ）
A.
3 B. 33?1
C. 25?12 D. 22x2y2变式3 已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1，F2，焦距F1F2?2c，
ab若直线y?3(x?c)与椭圆的一个交点M满足?MF1F2?2?MF2F1，则椭圆的离心率e等于_________.
x2y2变式4 设F1，F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点，以F2为圆心，且过椭圆中
ab心的圆与椭圆的一个交点为M，若直线F1M与圆F2相切，则椭圆的离心率为（ ）
A.
3?1 B. 2?3 C.
32 D. 22x2y2例10.7椭圆G:2?2?1(a?b?0)的左右焦点分别为F1(?c,0)，F2(c,0)，椭圆
abuuuuruuuur上存在点M使FM?F2M?0，则椭圆的离心率e的取值范围为_________. 1解析 解法一：由知识点精讲中结论知，当P为椭圆的短轴端点时，?F1PF2取得最大
uuuuruuuur0?FMF?90值，而由题意可知，若在椭圆上存在点M使得FM，即，只需?FM?01212要焦点三角形的顶角最大值?90即可，故只需保证当点M落在椭圆短轴端点处情形时
0?F1MF2?900的即可，所以
?FMFc2?sin12?sin450?，又因为e?1，故所求的椭a22?2?圆离心率的取值范围是?,1?? 2??0解法二：由椭圆的定义知|MF1|?|MF2|?2a，在VF1MF2中，?F1MF2?90，由勾222222股定理得， |F1M|?|F2M|?|F1F2|?4c，将上式化简得|F1M|?|F2M|?2(a?c)，22222根据韦达定理，可知|F1M|?|F2M|?2(a?c)是方程x?2ax?2(a?c)?0的两个根，
2则??4a?8(a?c)?0()?222ca21，即e?，又因为e?1，故所求的椭圆离心率的
22取值范围是??2?,1?? 2??uuuuruuuurx2y2变式1 已知F1，F2是椭圆2?2?1(a?b?0)的两焦点，满足FM?F2M?0的点1abM总在椭圆内部，则椭圆的离心（ ）
?1?A. (0,1) B. ?0,? C.
?2???2?2???0,2?? D. ?2,1?? ????x2y2例10.8 椭圆2?2?1(a?b?0)的两个焦点F1，F2，若P为其上一点，且
ab|PF1|?2|PF2|，F2，则此椭圆离心率的取值范围为____________
分析 根据椭圆的定义|PF1|?|PF2|?2a求解..
解析 解法一，由|PF1|?|PF2|?2a，|PF1|?2|PF2|得
|PF1|?4a2a2a，|PF2|?，又|PF1|?|PF2|?2c，即2c?，
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高中数学圆锥曲线椭圆及其性质(题型全归纳)
