第18届全国中学生物理竞赛预赛试卷
题 号 得 分
一 二 三 四 五 六 七 总 计 全卷共七题，总分为140分
一、（15分）如图预18－l所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为?时，杆的角速度为?，求此时物块M的速率vM。
二、（15分）两块竖直放置的平行金属大平板A、B，相距d，两极间的电压为U。一带正电的质点从两板间的M点开始以竖直向上的初速度v0运动，当它到达电场中某点N点时，速度变为水平方向，大小仍为v0，如图预18－2所示．求M、N两点问的电势差．（忽略带电质点对金属板上电荷均匀分布的影响）
三、（18分）一束平行光沿薄平凸透镜的主光轴入射，经透镜折射后，会聚于透镜f?48cm 处，透镜的折射率n?1.5。若将此透镜的凸面镀银，物置于平面前12cm处，求最后所成象的位置。
四、（1 8分）在用铀 235作燃料的核反应堆中，铀 235核吸收一个动能约为0.025eV的热中子（慢中子）后，可发生裂变反应，放出能量和2～3个快中子，而快中子不利于铀235的裂变．为了能使裂变反应继续下去，需要将反应中放出的快中子减速。有一种减速的方法是使用石墨（碳12）作减速剂．设中子与碳原子的碰撞是对心弹性碰撞，问一个动能为E0?1.75MeV的快中子需要与静止的碳原子碰撞多少次，才能减速成为0.025eV的热中子？
五、（25分）如图预18－5所示，一质量为M、长为L带薄挡板P的木板，静止在水平的地面上，设木板与地面间的静摩擦系数与滑动摩擦系数相等，皆为?．质量为m的人从木板的一端由静止开始相对于地面匀加速地向前走向另一端，到达另一端时便骤然抓住挡板P而停在木板上．已知人与木板间的静摩擦系数足够大，人在木板上不滑动．问：在什么条件下，最后可使木板向前方移动的距离达到最大？其值等于多少？
第18届全国中学生物理竞赛预赛试卷参考答案及评分标准
一、参考解答
杆的端点A点绕O点作圆周运动，其速度vA的方向与杆OA垂直，在所考察时其大小为
vA??R （1） 对速度vA作如图预解18-1所示的正交分解，沿绳BA的分量就是物块M是速率
vM，则
vM?vAcos? （2） 由正弦定理知
sin?OABsin? （3） ?HR由图看出 ?OAB??2?? （4）
由以上各式得
vM??Hsin? （5）
评分标准：本题15分 其中（1）式3分；（2）式5分；（5）式7分。
二、参考解答
带电质点在竖直方向做匀减速运动，加速度的大小为g；在水平方向因受电场力作用而做匀加速直线运动，设加速度为a。若质点从M到N经历的时间为t，则有
vx?at?v0 （1） vy?v0?gt?0 （2） 由以上两式得
a?g （3） t?v0 （4） gM、N两点间的水平距离
212v0 x?at? （5）
22g于是M、N两点间的电势差 UMN2Uv0U （6） ?x?d2dg评分标准：本题15分
（1）、（2）式各3分；（3）、（4）式各2分；（5）式3分；（6）式2分。
三、参考解答
1．先求凸球面的曲率半径R。平行于主光轴的光线与平面垂直，不发生折射，它在球面上发生折射，交主光轴于F点，如图预解18-3-1所示。C点为球面的球心，CO?R，由正弦定理，可得
R?fsinr? （1） Rsin(r?i)由折射定律知
sini1? （2） sinrn当i、r很小时，sinr?r，sin(r?i)?r?i，sini?i，由以上两式得
1?frn1 （3） ???1?Rr?in?1n?1
所以
R?(n?1)f （4） 2. 凸面镀银后将成为半径为R的凹面镜，如图预解18-3-2所示 令P表示物所在位置，P点经平面折射成像P?，根据折射定律可推出
P?O?nPO （5）
由于这是一个薄透镜，P?与凹面镜的距离可认为等于P?O，设反射后成像于P??，则由球面镜成像公式可得
112?? （6） P??OP?OR由此可解得P??O?36cm，可知P??位于平面的左方，对平面折射来说，P??是一个虚物，经平面折射后，成实像于P???点。
P???O1? （7） P??On所以 P???O?24 cm （8） 最后所成实像在透镜左方24 cm处。 评分标准：本题18分 （1）、（2）式各2分；（3）或（4）式2分；（5）式2分；（6）式3分；（7）式4分；（8）式3分。
四、参考解答
设中子和碳核的质量分别为m和M，碰撞前中子的速度为v0，碰撞后中子和碳核的速度分别为v和v?，因为碰撞是弹性碰撞，所以在碰撞前后，动量和机械能均守恒，又因v0、
v和v?沿同一直线，故有
mv0?mv?Mv? （1） 解上两式得
v?因M?12m 代入（3）式得
v??12121mv0?mv?Mv?2 （2） 222m?Mv0 （3） m?M11v0 （4） 13
负号表示v的方向与v0方向相反，即与碳核碰撞后中子被反弹．因此，经过一次碰撞后中子的能量为
11?11?2 E1?mv2?m???v0
22?13?于是
2?11? E1???E0 （5）
?13?经过2，3，…，n次碰撞后，中子的能量依次为E2，E3，E4，…，En，有
2?11??11? E2???E1???E0
?13??13??11? E3???E0
?13? ……
624?E??11? En??1?E0???E0 （6）
?13??E0?因此 n?n2n1lg(En/E0) （7）
2lg(11/13)已知 代入（7）式即得
En0.0251???10－7 6E01.75?1071lg(?10－7)?7?lg77.84517???54 （8） n?112(?0.07255)0.14512lg()13故初能量E0?1.75MeV的快中子经过近54次碰撞后，才成为能量为0.025 eV的热中子。 评分标准：本题18分 （1）、（2）、（4）、（6）式各3分；（5）、（7）、（8）式各2分。
五、参考解答
在人从木板的一端向另一端运动的过程中，先讨论木板发生向后运动的情形，以t表示人开始运动到刚抵达另一端尚未停下这段过程中所用的时间，设以x1表示木板向后移动的距离，如图预解18-5所示．以f表示人与木板间的静摩擦力，以F表示地面作用于木板
的摩擦力，以a1和a2分别表示人和木板的加速度，则
f?m1 a （1） L?x1?a1t2 （2） f?F?Ma2 （3）
121 x1?a2t2 （4）
2解以上四式，得
t?2LMm （5）
Mf?m(f?F)对人和木板组成的系统，人在木板另一端骤然停下后，两者的总动量等于从开始到此时地面的摩擦力F的冲量，忽略人骤然停下那段极短的时间，则有
Ft?(M?m)v （6）
v为人在木板另一端刚停下时两者一起运动的速度．设人在木板另一端停下后两者一起向
前移动的距离为x2，地面的滑动摩擦系数为?，则有
1(M?m)v2??(M?m)gx2 （7） 2木板向前移动的净距离为
X?x2?x1 （8） 由以上各式得
???1?F??LMmLm X??(f?F)??? ???g?M?m(M?m)(f?F)?MFMf?m(f?F)??????由此式可知，欲使木板向前移动的距离X为最大，应有
f?F （9） 即 f?Fmax??(M?m)g （10） 即木板向前移动的距离为最大的条件是：人作用于木板的静摩擦力等于地面作用于木板的滑动摩擦力．
移动的最大距离
2mL （11）
M?m由上可见，在设木板发生向后运动，即f?F的情况下，f?F时，X有极大值，也就是说，在时间0～t内，木板刚刚不动的条件下X有极大值．
再来讨论木板不动即f?F的情况，那时，因为f?F，所以人积累的动能和碰后的
Xmax?总动能都将变小，从而前进的距离x也变小，即小于上述的Xmax。
评分标准：本题25分 （1）、（2）、（3）、（4）式各1分；（6）式5分；（7）式2分；（8）式3分；（9）式2分；（10）
式3分；（11）式5分；说明f?F时木板向前移动的距离小于f?F时的给1分。
六、参考解答
铝球放热，使冰熔化．设当铝球的温度为t0时，能熔化冰的最大体积恰与半个铝球的体积相等，即铝球的最低点下陷的深度h与球的半径R相等．当热铝球的温度t?t0时，铝球最低点下陷的深度h?R，熔化的冰的体积等于一个圆柱体的体积与半个铝球的体积之和，如图预解18-6-1所示．
设铝的密度为?Al，比热为c，冰的密度为?，熔解热为?，则铝球的温度从t℃降到0℃的过程中，放出的热量
Q1??R3?Alct （1） 熔化的冰吸收的热量
图预解 18-6-1
4314?? Q2????R2(h?R)???R3?? （2）
23??假设不计铝球使冰熔化过程中向外界散失的热量，则有
Q1?Q2 （3） 解得
1t?R （4） ?3即h与t成线形关系．此式只对t?t0时成立。将表中数据画在h?t图中，得第1，2，…，8次实验对应的点A、B、…、H。数据点B、C、D、E、F五点可拟合成一直线，如
h?图预解18-6-2所示。此直线应与（4）式一致．这样，在此直线上任取两点的数据，代人（4）式，再解联立方程，即可求出比热c的值．例如，在直线上取相距较远的横坐标为8和100的两点X1和X2，它们的坐标由图预解18-6-2可读得为 X1(8.0,5.0) X2(100,16. 7)将此数据及?的值代入（4）式，消去R，得
4Rc
c?8.6?102J/kg??C （5）
图预解 18-6-2
2. 在本题作的图预解18-6-2中，第1，7，8次实验的数据对应的点偏离直线较远，未被采用．这三个实验数据在h?t图上的点即A、G、H．
（4）A点为什么偏离直线较远？因为当h?R时，从（4）式得对应的温度t0?65℃，式在t?t0的条件才成立。但第一次实验时铝球的温度t1?55℃＜t0，熔解的冰的体积小于半个球的体积，故（4）式不成立．
G、H为什么偏离直线较远？因为铝球的温度过高（120℃、140℃），使得一部分冰升华成蒸气，且因铝球与环境的温度相差较大而损失的热量较多，（2）、（3）式不成立，因而（4）式不成立． 评分标准：本题24分
第1问17分；第二问7分。第一问中，（1）、（2）式各3分；（4）式4分。正确画出图线4分；解出（5）式再得3分。第二问中，说明A、G、H点不采用的原因给1分；对A和G、H偏离直线的原因解释正确，各得3分。
七、参考解答
带电粒子（以下简称粒子）从S点垂直于DE边以速度v射出后，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，其圆心一定位于DE边上，其半径R可由下式
mv2 qvB?
R求得，为
R?mv （1） qB1. 要求此粒子每次与?DEF的三条边碰撞时都与边垂直，且能回到S点，则R和v应满足以下条件：
（ⅰ）与边垂直的条件． 由于碰撞时速度v与边垂直，粒子运动轨迹圆的圆心一定位于?的边上，粒子绕过?顶点D、E、F时的圆弧的圆心就一定要在相邻边的交点（即D、E、F）上．粒子从S点开始向右作圆周运动，其轨迹为一系列半径为R的半圆，在SE边上最后一次的碰撞点与E点的距离应为R，所以SE的长度应是R的奇数倍。粒子从FD边绕过D点转回到S点时，情况类似，即DS的长度也应是轨道半径的奇数倍．取DS?R1，则当DS的长度被奇数除所得的R也满足要求，即
R?Rn?DS n＝1，2，3，…
(2n?1)因此为使粒子与?各边发生垂直碰撞，R必须满足下面的条件 R?Rn?1L2a??2n?145(2n?1)n?1,2,3,? （2）
此时 SE?3DS?(6n?3)Rnn?1,2,3,?
SE为Rn的奇数倍的条件自然满足．只要粒子绕过E点与EF边相碰，由对称关系可知，以后的碰撞都能与?的边垂直．
（ⅱ）粒子能绕过顶点与?的边相碰的条件．
由于磁场局限于半径为a的圆柱范围内，如果粒子在绕E点运动时圆轨迹与磁场边界相交，它将在相交点处以此时的速度方向沿直线运动而不能返回．所以粒子作圆周运动的
半径R不能太大，由图预解18-7可见，必须R?DM（?的顶点沿圆柱半径到磁场边界的距离，R?DM时，粒子圆运动轨迹与圆柱磁场边界相切），由给定的数据可算得
83a?0.076a （3） 15将n?1，2，3，…，分别代入（2）式，得
2a n?1,R1??0.400a
52a n?2,R2??0.133a
152a n?3,R3??0.080a
252a n?4,R4??0.057a
35 DM?a?由于R1，R2，R3≥DM，这些粒子在绕过?的顶点E时，将从磁场边界逸出，只有n≥
4的粒子能经多次碰撞绕过E、F、D点，最终回到S点．由此结论及（1）、（2）两式可得与之相应的速度 vn?qBqB2aRn??mm5(2n?1)n?4,5,6,? （4）
这就是由S点发出的粒子与?的三条边垂直碰撞并最终又回到S点时，其速度大小必
须满足的条件．
2. 这些粒子在磁场中做圆周运动的周期为
T?2?R v2?m （5） qB将（1）式代入，得
T?可见在B及q/m给定时T与v无关。粒子从S点出发最后回到S点的过程中，与?的边碰撞次数愈少，所经历的时间就愈少，所以应取n?4，如图预解18-7所示（图中只画出在边框DE的碰撞情况），此时粒子的速度为v4，由图可看出该粒子的轨迹包
括3×13个半圆和3个圆心角为300?的圆弧，所需时间为 t?3?13?以（5）式代入得 t?44T5?3?T?22T （6） 26?mqB （7）
评分标准：本题25分
第一问15分；第二问10分。第一问中：（1）式2分；（2）式5分；分析出n≥4的结论给4分；（4）式4分。第二问中：（5）式1分；（6）式7分；（7）式2分。
六、（ 24分）物理小组的同学在寒冷的冬天做了一个这样的实验：他们把一个实心的大铝球加热到某温度t，然后把它放在结冰的湖面上（冰层足够厚），铝球便逐渐陷入冰内．当铝球不再下陷时，测出球的最低点陷入冰中的深度h．将铝球加热到不同的温度，重复上述实验8次，最终得到如下数据：
实验顺序数 热铝球的温度 t /℃ 陷入深度 h /cm
已知铝的密度约为水的密度的3倍，设实验时的环境温度及湖面冰的温度均为 0℃．已知此情况下，冰的熔解热??3.34?105J/kg．
1．试采用以上某些数据估算铝的比热c．
2．对未被你采用的实验数据，试说明不采用的原因，并作出解释．
1 55 9.0 2 70 12.9 3 85 14.8 4 92 16.0 5 104 17.0 6 110 18.0 7 120 17.0 8 140 16.8
七、（ 25分）如图预18－7所示，在半径为a的圆柱空间中（图中圆为其横截面）充满磁感应强度大小为B的均匀磁场，其方向平行于轴线远离读者．在圆柱空间中垂直轴线平面内固定放置一绝缘材料制成的边长为L?1.6a的刚性等边三角形框架?DEF，其中心O1L）处有一发射带电粒子的源，发射粒子的方4向皆在图预18-7中截面内且垂直于DE边向下．发射粒子的电量皆为q（＞0），质量皆为m，但速度v有各种不同的数值．若这些粒子与三角形框架的碰撞均为完全弹性碰撞，
位于圆柱的轴线上．DE边上S点（DS?并要求每一次碰撞时速度方向垂直于被碰的边．试问：
1．带电粒子速度v的大小取哪些数值时可使S点发出的粒子最终又回到S点？ 2. 这些粒子中，回到S点所用的最短时间是多少？
2001年第18届全国中学生物理竞赛预赛试题及答案
