2017年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. ．．．
?1?cosx,x?0?（1）若函数f(x)??在x?0处连续，则（ ） ax?b,x?0?【答案】A
1x111?cosx12【解析】lim在处连续??b?ab?.选A. ?lim?,Qf(x)x?0x?0?x?0?ax2a2ax2a（2）设函数【答案】C 【解析】Qf(x)可导，且f(x)f'(x)?0，则（ ）
?f(x)?0?f(x)?0f(x)f'(x)?0,??(1)或?(2)，只有C选项满足(1)且满足(2)，所以选C。
f'(x)?0f'(x)?0??f(x,y,z)?x2y?z2在点(1,2,0)处沿向量u??1,2,2?的方向导数为（ ）
（3）函数
【答案】D
【解析】选D.
gradf?{2xy,x2,2z},?gradf(1,2,0)?{4,1,0}??fu122?gradf??{4,1,0}?{,,}?2. ?u|u|333（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线v?v1(t)（单位：m/s），虚线表示乙的速度曲线v?v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上
甲的时刻记为t0（单位：s），则（ ） 【答案】B
【解析】从0到t0这段时间内甲乙的位移分别为
?t00v1(t)dt,?v2(t)dt,则乙要追上甲，则
0t0?t00v2(t)?v1(t)dt?10，当t0?25时满足，故选C.
（5）设?是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（ ） 【答案】A
【解析】选项A,由(E???)??????0得(E???)x?0有非零解，故
TTTE???T?0。即E???T不
可逆。选项B,由r(??)??1得??的特征值为n-1个0，1.故E???的特征值为n-1个1，2.故可逆。其它选项类似理解。
TT?200??210??100???????（6）设矩阵A?021,B?020,C?020,则（ ） ??????????001???001???002??【答案】B
【解析】由(?E?A)?0可知A的特征值为2,2,1
?100???因为3?r(2E?A)?1，∴A可相似对角化，且A~020
???002???由
?E?B?0可知B特征值为2,2,1.
因为3?r(2E?B)?2，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化， ∴A~C，且B不相似于C
（7）设A,B为随机概率，若0?P(A)?1,0?P(B)?1，则P(A【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
B)?P(AB)的充分必要条件是（ ）
1n（8）设X1,X2???Xn(n?2)为来自总体N(?,1)的简单随机样本，记X??Xi，则下列结论中不正确的
ni?1是（ ） 【答案】B 【解析】
由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上. ．．．(9) 已知函数f(x)?【答案】【解析】
(10) 微分方程y?2y?3y?0的通解为【答案】
'''1(3)f(0)=__________ ，则21?xf(0)??6
y?_________
y?e?x(c1cos2x?c2sin2x)，（c1,c2为任意常数）
【解析】齐次特征方程为?故通解为e?x2?2??3?0??1,2??1?2i
(c1cos2x?c2sin2x)
xdx?aydy22?Lx2?y2?1在区域D?(x,y)|x?y?1内与路径无关，则
(11) 若曲线积分
??a?__________ 【答案】a?1
【解析】
?P?2xy?Q2axy?P?Q?2,?,??a??1 由积分与路径无关知?y(x?y2?1)2?x(x2?y2?1)2?y?x(12) 幂级数
?(?1)n?1?n?1nxn?1在区间(?1,1)内的和函数S(x)?________
【答案】s(x)?1?1?x?2
1???x?n?1n?1n?1n??【解析】?(?1)nx???(?1)x????2 n?1?n?1??1?x?(1?x)?''?101???（13）设矩阵A?112，?1,?2,?3为线性无关的3维列向量组，则向量组A?1,A?2,A?3的秩为
???011???_________ 【答案】2
【解析】由?1,?2,?3线性无关，可知矩阵?1,?2,?3可逆，故
r?A?1,A?2,A?3??r?A??1,?2,?3???r?A?再由r?A??2得r?A?1,A?2,A?3??2（14）设随机变量X的分布函数为F(x)?0.5?(x)?0.5?(x?4)，其中?(x)为标准正态分布函数，则2
EX?_________
【答案】2
【解析】F?(x)?0.5?(x)???0.5x?40.5??x?4?()，故EX?0.5?x?(x)dx?x?()dx ?????2222????????x?4x?4x?(x)dx?EX?024?2t?(t)dt?8?1?4t?(t)dt?8 ?tx?()dx。令，则=??????????????22因此E(X)?2.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步．．．骤.
（15）（本题满分10分）
dy设函数f(u,v)具有2阶连续偏导数，y?f(e,cosx)，求
dxxd2y2
x?0，dx
x?0
dy【答案】
dx【解析】 结论：
x?0d2y?f(1,1),2dx'1''?f11(1,1), x?0（16）（本题满分10分）求limk?k?ln?1???2n???n? k?1nn【答案】【解析】
1 4（17）（本题满分10分） 已知函数
y(x)由方程x3?y3?3x?3y?2?0确定，求y(x)的极值
y(1)?1，极小值为y(?1)?0
【答案】极大值为【解析】 两边求导得：
3x2?3y2y'?3?3y'?0 （1）
令y'?0得x??1
对（1）式两边关于x求导得
6x?6y?y'??3y2y''?3y''?0 （2）
2将x??1代入原题给的等式中，得?将x?1,y?1代入（2）得
?x?1?x??1， or??y?1?y?0y''(1)??1?0 y''(?1)?2?0
将x??1,y?0代入（2）得故x?1为极大值点，
y(1)?1；x??1为极小值点，y(?1)?0
f(x)?0，证明： x（18）（本题满分10分） 设函数
f(x)在区间[0,1]上具有2阶导数，且f(1)?0,lim?x?0(?)方程f(x)?0在区间(0,1)内至少存在一个实根；
(?)方程f(x)f'(x)?(f'(x))2?0在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】 （I）
f(x)二阶导数，f(1)?0,lim?x?0f(x)?0 x解：1）由于
f(x)?0，根据极限的保号性得
x?0xf(x)???0,?x?(0,?)有?0，即f(x)?0
xlim?进而?x0?(0,?)有f又由于那么
????0
f(x)二阶可导，所以f(x)在[0,1]上必连续
f(x)在[?,1]上连续，由f(?)?0,f(1)?0根据零点定理得：
f(?)?0，即得证
至少存在一点??(?,1)，使（II）由（1）可知
f(0)?0，???(0,1),使f(?)?0，令F(x)?f(x)f'(x)，则f(0)?f(?)?0
由罗尔定理???(0,?),使f'(?)?0，则F(0)?F(?)?F(?)?0， 对F(x)在(0,?),(?,?)分别使用罗尔定理：
??1?(0,?),?2?(?,?)且?1,?2?(0,1),?1??2，使得F'(?1)?F'(?2)?0，即
F'(x)?f(x)f''(x)??f'(x)??0在(0,1)至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分） 设薄片型物体S是圆锥面z?2x2?y2被柱面z2?2x割下的有限部分，其上任一点的密度为
??9x2?y2?z2。记圆锥面与柱面的交线为C
(?)求C在xOy平面上的投影曲线的方程； (?)求S的M质量。
【答案】64 【解析】
22??z?x?y（1）由题设条件知，C的方程为??x2?y2?2x
2z???2x?x2?y2?2x则C在xoy平面的方程为?
?z?0（2）
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