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第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力
加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置
附近做微振动的频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
解：
（1）如图，?为在某时刻小圆柱质心在其横截面上到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹角。小圆柱受三个力作用：重力，圆筒对小圆柱的支持力和静摩擦力。设圆筒对小圆柱的静摩擦力大小为F，方向沿两圆柱切点的切线方向（向右为正）。考虑小圆柱质心的运动，由质心运动定理得 ①
式中，a是小圆柱质心运动的加速度。由于小圆柱与圆筒间作无滑滚动，小圆柱绕其中心轴转过的角度?1（规定小圆柱在最低点时?1?0）与?之间的关系为 R??r(?1??) ②
d2?1d2?由②式得，a与?的关系为 a?r2?(R?r)2dtdtF?mgsin??ma ③
考虑小圆柱绕其自身轴的转动，由转动定理得
d2?1 ?rF?I2dt ④
式中，I是小圆柱绕其自身轴的转动惯量I?1mr2 ⑤
2由①②③④⑤式及小角近似 sin??? ⑥
d2?得 2?2g??0 ⑦
dt3(R?r)由⑦式知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
f?1gπ6(R?r) ⑧
（2）用F表示小圆柱与圆筒之间的静摩擦力的大小，?1和?2分别为小圆柱与圆筒转过的角度（规定小圆柱相对于大圆筒向右运动为正方向，开始时小圆柱处于最低点位置?1??2?0）。对于小圆柱，由转动定
12?d?1理得 ?Fr???mr?2?2?dt2 ⑨
d2?2对于圆筒，同理有 FR?(MR)2dt2 ⑩
d2?1d2?2?21?由⑨⑩式得 ?F????r2?R2dtdt?mM? ?
设在圆柱横截面上小圆柱质心到圆筒中心轴的垂线与竖直方向的夹
角?，由于小圆柱与圆筒间做无滑滚动，有
R??r(?1??)?R?2 ?
d2?d2?1d2?2由?式得 (R?r)2?r2?R2dtdtdt ?
设小圆柱质心沿运动轨迹切线方向的加速度为a，由质心运动定理得 F?mgsin??ma ? 由?式得
d2? a?(R?r)2dt ?
由????式及小角近似sin???，得
d2?2M?mg 2? ??0 ?
dt3M?mR?r由?式可知，小圆柱质心在其平衡位置附近的微振动是简谐振动，其振动频率为
12M?mg2π3M?mR?r f? ?
评分参考：第（1）问20分，①②式各3分，③式2分，④式3分，⑤⑥式各2分，⑦式3分，⑧式2分；第（2）问20分，⑨⑩?式各2分，?式3分，???式各2分，?式3分，?式2分。
二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线
r?k
1??cos?式中，r是P到太阳S的距离，?是矢径SP相对于极轴SA的夹角（以逆时针方向为正），
G?6.67?10?11m3?kg?1?s?2L2k?GMm2, L是P相对于太阳的角动量，
为引力常量，M?1.99?1030kg为太阳的质量，
2EL2??1?223GMm为偏心率，m和E分别为P的
质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图
所示。已知地球轨道半径RE?1.49?1011m，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星
（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过C、D两点时速度的大小。 已知积分公式?
xdx23/21/2??x?a??2a?x?a??C，式中C是任意常数。 x?a3解：
（1）由题设，彗星的运动轨道为抛物线，故
??1, E?0 ①
第34届全国中学生物理竞赛复赛试题
