第34届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答
2017年9月16日
一、（40分）一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率： （1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。
二、（40分）星体P（行星或彗星）绕太阳运动的轨迹为圆锥曲线 r?k
1??cos?式中，r是P到太阳S的距离，?是矢径SP相对于极轴SA的夹角（以逆时针方向
L2为正），k?GMm2, L是P相对于太阳的角动量，G?6.67?10?11m3?kg?1?s?2302EL2为引力常量，M?1.99?10kg为太阳的质量， ??1?223GMmm和E分别为
为偏心率，P的质量和机械能。假设有一颗彗星绕太阳运动的轨道
为抛物线，地球绕太阳运动的轨道可近似为圆，两轨道相交于C、D两点，如图所示。已知地球轨道半径RE?1.49?1011m，彗星轨道近日点A到太阳的距离为地球轨道半径的三分之一，不考虑地球和彗星之间的相互影响。求彗星
（1）先后两次穿过地球轨道所用的时间； （2）经过C、D两点时速度的大小。
已知积分公式?
xdx23/21/2??x?a??2a?x?a??C，式中C是任意常数。 x?a3三、（40分）一质量为M的载重卡车A的水平车板上载有一质量为m的重物B，在水平直公路
上以速度v0做匀速直线运动，重物与车厢前壁间的距离为L（L?0）。因发生紧急情况，卡车突然制动。已知卡车车轮与地面间的动摩擦因数和最大静摩擦因数均为?1，重物与车厢底板间的动摩擦因数和最大
BLA静摩擦因数均为?2（?2??1）。若重物与车厢前壁发生碰撞，则假定碰撞时间极短，碰后重物与车厢前壁不分开。重力加速度大小为g。 （1）若重物和车厢前壁不发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车停止的过程所花的时间和走过的路程、重物从制动开始到重物停止的过程所花的时间和走过的路程，并导出重物B与车厢前壁不发生碰撞的条件；
（2）若重物和车厢前壁发生碰撞，求卡车从制动开始到卡车和重物都停止的过程所经历的时间、卡车走过的路程、以及碰撞过程中重物对车厢前壁的冲量。
四、（40分）如俯视图，在水平面内有两个分别以O点与O1点为圆心的导电半圆弧内切于M点，半圆O的半径为2a，半圆O1的半径为a；两个半圆弧和圆O的半径ON
? 围成的区域内充满垂直于水平面向下的匀强磁场（未画出），磁感应强度大小为B；其余区域没有磁场。半径OP为一均匀细金属棒，以恒定的角速度? 绕O点顺时针旋转，旋转过程中金属棒OP与两个半圆弧均接触良好。已知金属棒OP电阻为R，两个半圆弧的电阻可忽略。开始时P点与M点重合。在t（0?t?π）时刻，半径OP与半圆
?O1交于Q点。求
（1）沿回路QPMQ的感应电动势；
（2）金属棒OP所受到的原磁场B的作用力的大小。
第34届全国中学生物理竞赛复赛试题
