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阿波罗尼斯圆的新性质及应用
作者：杨炼
来源：《中学数学杂志(高中版)》2016年第03期
设M，N是平面上两个定点，则满足|PM|=k|PN|（k>0，k≠1）的点的轨迹是一个圆，通常称之为阿波罗尼斯圆，其中k为比例常数，此圆的圆心在直线MN上.随之产生一个问题，对于任意一个圆和常数k（k≠1），如何寻找两定点M，N，使圆上任意一点P满足阿氏圆的定义|PM|=k|PN|（k≠1），本文给出的定理解决了这一问题，利用这一定理可很快解决2015年湖北高考试题（题14）和一个自主招生试题.
先引进一个概念——圆的反演点：已知圆O的半径为r，从圆心O出发任作一射线，在射线上任取两点M，N，OM=m，ON=n且|OM|·|ON|=r2，则称M，N是关于圆O的反演点，圆的反演点也可由以下几何方法获得，若M在圆外，过M作圆的两条切线，两切点的连线与OM的交点就是M的反演点N；若M在圆内，则连接OM，过点M作OM的垂线与圆交点处的两切线的交点即为M的反演点N.
定理1设M，N是圆O的反演点，AB是直线MN上的直径，则圆O上的任意一点P满足PM=kPN（k≠1），其中k=AMAN.图1
证明如图1，不妨设圆O的方程为x2+y2=r2（r>0），A（-r，0），M（m，0），N（n，0）（m>0，n>0），则由反演点的定义mn=r2.k=AMAN=m+rn+r，设P（x，y），则由PM=kPN得：AM2AN2=（m+r）2（n+r）2，
即（x-m）2+y2（x-n）2+y2=（m+r）2（n+r）2，所以（n+r）2[（x-m）2+y2]=（m+r）2[（x-n）2+y2]，展开得：
[（m+r）2-（n+r）2]x2-2[m（n+r）2-n（m+r）2]x+[（m+r）2-（n+r）2]y2+n2（m+r）2-m2（n+r）2=0，即（m-n）（m+n+r）x2-2[mn（n-m）+（m-n）r2]x+（m-n）（m+n+r）y2+[2mn+（m+n）r]（n-m）r=0，因为m-n≠0，mn=r2，上式可化简为x2+y2=r2，故圆x2+y2=r2上的点P均满足：
PM=kPN（k≠1），其中k=AMAN.图2
定理2设M，N是圆O的反演点，AB是直线MN上的直径，P为圆O上的任意一点，则直线PA，PB分别为△PMN的∠MPN的内、外角平分线.如图2，由于PMPN=BMBN，故由平面几何角平分线的性质易知（证略）. 下面举例说明本文定理的应用.图3
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