高中数学教案 1.5定积分的概念第3课时

由天下分享时间：2024/12/13 17:28:59 加入收藏我要投稿点赞

§1.5.3定积分的概念

【学情分析】：

前面两节（曲边梯形的面积和汽车行驶的路程）课程的学习为定积分的概念的引入做好了铺垫。学生对定积分的思想方法已有了一定的了解。

【教学目标】：

（1）知识与技能：定积分的概念、几何意义及性质

（2）过程与方法：在定积分概念形成的过程中，培养学生的抽象概括能力和探索提升能力。

（3）情感态度与价值观：让学生了解定积分概念形成的背景，培养学生探究数学的兴趣.

【教学重点】：

理解定积分的概念及其几何意义，定积分的性质

【教学难点】：

对定积分概念形成过程的理解

【教学过程设计】：教学环节教学活动设计意图 f??i??x?limf??i? 曲边梯形的面积：S?lim一、?x?0n??ni?1i?1复习 nn1v??i??t?limv??i? 变速运动的路程：S?lim引 ?t?0n??i?1i?1n入：归纳解决曲边梯形面积和变速直线运动的共同特征：第一，都通过“四步曲”——分割、近似代替、求和、取极限来解决问题；第二，最终结果都归结为求同一种类型的和式的极限。 ?n?n1?? 结合已学的相关知识基础学习新概念。

1.定积分概念如果函数f(x)在区间?a,b?上连续，用分点 a?x0?x1?L?xi?1?xi?L?xn?b 将区间?a,b?等分成n个小区间，在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i(i?1,2,L,n)，作和式 ?i?1nf??i??x??i?1nb?af??i? n 当n??时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f?x?在区间?a,b?上的定积分，记作?baf(x)dx，即二、nbb?af(x)dx?limf??i? 新 an??ni?1 课 2.定积分概念的理解（1）关于区间?a,b?分法。对区间?a,b?的分割应该是任意的，只要讲保证每一小区间的长度都趋向于0就可以了。（2）关于?i的取法。在定积分的定义中，规定?i是第i小区间上任意解取定的点，这主要是考虑到定义的一般性，但在解决实际问题或计算定积??分时，可以把?i都取为每个小区间的左端点或右端点，以便于得出结果。（3）定积分?baf(x)dx中符号的含义：?叫做积分号，a,b分别叫做积分下限和积分上限，区间?a,b?叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f?x?dx叫做被积式。定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有详细剖析新概念，让学生透彻理解。 ?baf(x)dx??f(t)dt??f(u)du。 aabb（4）定积分的含义（与不定积分的区别）：?baf(x)dx是一个和式的极限——是一个确定的常数；f(x)dx是f(x)的全体原函数——是函数。 ?

3．定积分的几何意义。（1）学生在回顾前面两个实例的基础上做出回答： 1.5.1中曲边梯形面积：S?1.5.2?1011f(x)dx??x2dx? 03中汽车在0?t?1这段时间经过的路程：115S??v(t)dt????t2?2?dt? 003（2）探究（课本52页）：如何用定积分表示位于x轴上方的两条曲线y?f1?x?,y?f2?x?与直线x?a,x?b围成的平面图形的面积。例1 利用定积分的定义，计算结合图形，回忆前两节的两个实例讲解，学生容易接受。 ?10x3dx的值。（使学生进一步熟悉定积分的定义，熟悉计算定积分的“四部曲”，注意引导学生选取?i(i?1,2,L,n)为特殊点以便于计算。） 4.定积分的基本性质： bb(1)?kf(x)dx?k?f(x)dx (k为常数) aa(2)?[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx aaabbb(3)?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx (a

四、课定积分的定义，计算定积分的“四步曲”，定积分的几何意义，定积堂分的性质。小结

练习与测试：（基础题） 1.函数f(x)在?a,bn归纳，小结本节的知识。 ?i上的定积分是积分和的极限，即

?baf(x)dx?_________________ .

答案：lim??0?f(?)?x

ii?1

2.定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 . 答案：被积函数,积分区间,积分变量；

3.定积分的几何意义是_______________________ .

答案：介于曲线y?f(x),x轴 ,直线x?a,x?b之间各部分面积的代数和； 4.据定积分的几何意义(a?b)，则

?badx?________;?xdx?________.

abb2?a2答案：b?a ，

2（提高题）

5.将和式极限表示成定积分(1). lim