切分岔定理中的数学秘密
作者：安旭东
摘要：文章对切分岔定理作了介绍并附有详细的证明过程。读者将看到我们从切分岔定理出发，作出合乎逻辑的推测，提出数学问题，并最终给出证明的全过程。阅读本文只需要理工科大学低年级的微积分基础知识，谨以此文庆祝牛年。 关键词 切分岔 隐函数 不动点 稳定性 周期n轨道
1. 预备知识
1.1
不动点
考虑一个非线性映射f(??，??)（这里的非线性映射可以简单理解为自变量x的非线性函数，它由一个参数??来控制）,若存在某个???，
使得映射的输入和输出数值相同，不再因为迭代而变化，即???= f(??，???)，这时我们说，???为非线性映射f(??，??)的不动点。 显然，???也是非线性方程??- f(??，??)=0的解
1.2 稳定性分析
求得任何一个非线性问题以后，首要考虑的问题就是这个解是否稳定，研究的办法是在解附近做小扰动，看求解过程是收敛还是偏离开原来的解。 定义迭代过程： ????+1= f(??，????) (1) 将迭代过程（1）在不动点???附近作小扰动得到
????=???+????， （2） 其中????为无穷小量，将（2）式代入（1）式得到 ???+????+1= f(??，???+????) (3)
显然????和????+1是迭代前后对不动点的偏离，将（3）式右边展开到????的线性项，得到
???+????+1= f(??，???)+(
??f(??，??)????
|??=???)·????+….
利用不动点方程???= f(??，???)消去上式两端第一项后，有
????+1??f(??，??)
=|??=??? ????????
对于稳定的不动点，????+1的绝对值必须小于|????|，因此我们得到不动点
的稳定条件：
s ≡ |
??f(??，??)????
|??=??? ≤1. s =1是稳定边界，对应??′(??，???)=1和??′(??，???)=-1两种可能性.前者给出切分岔，后者给出倍周期分岔，本文重点讨论切分岔。
1.3 隐函数定理
最简单的隐函数定理可以表述为：当G（x0,y0）=0，而且G（x,y）在（x0,y0）附近可微分，且
????????
在（x0,y0）处不等于零时，在（x0,y0）
附近存在着唯一的解y=h(x)，满足
(1)在（x0,y0）附近，G（x,h(x)）=0成立； (2)
????(??)????
=- (
??G（??,??）
??????G（??,??）
????
)|??=??(??)
1.4 复合函数的记号
??(??)(??，??)为函数f(??，??)的n次复合函数
其中??
(2)
(??，??)=??(??，??(??，??))
(2)
??(3)(??，??)= ??(??，?? … … … ??(??)(??，??)=(??， ??
(??，??))
(???1)
(??，??))
注：预备知识中的说法均是参考郝柏林的书《从抛物线谈起-混沌动力学引论》
2. 切分岔定理
2.1
切分岔定理的内容：
如果映射函数f(??，??)满足以下条件： (1) 在(??，??)平面存在一个不动点
??(??)(???，???)= ???，
(2) 在此不动点处，达到稳定边界+1,即
??????
??
(??)
(??，??)|?=+1 (这里?表示（???，???）)
(3) 在此不动点处，??(??)对参量??的偏导数不为零，即
??????
??
(??)
(??，??)|?≠0，
(4) 同时，二阶偏导数也不等于零：
??????2
??2(??)
(??，??)|?≠0
则在(??，??)附近存在一个小区域，例如长方形（从??????到???+
??，从??????到???+??），在其中??>???或??
注：这里关于切分岔定理的表述同样出自郝柏林的书《从抛物线谈
起-混沌动力学引论》，感兴趣的读者也可以参考古根海默的文章
Guckenheimer P.Invent.Math.,1977,39:165.
2.2 切分岔定理的证明
第一步，引入一个辅助函数，h(??，??)≡??
(??)
(??，??)???
于是??(??)的的不动点就成为h的零点h(???，???)=0. 由（2）知
??????????????
??
|?=(
????
??(??)(??，??))|??1=1?1=0
??
由（3）知
|?=(
????
??(??)(??，??))|?≠0
则由隐函数定理可知，在(???，???)附近存在着唯一函数??(??)满足 ① 在(???，???)附近，h(??,??(??))=0 ②
????(??)????
=????|??=??(??) ??
?
将??(??)在(???，???)附近展开有（只保留到二阶） ??(??)= ??(???)+
????(??)????
|?·????+ 2
1??2??(??)
????2
|?·(????)2 +… （4）
由于在(???，???)附近，h(??,??(??))=0，将方程两边同时求一、二阶导数，很容易求得
????(??)????
|?和
??2??(??)????2
|?的值，我们在这里省略求解
过程，直接给出结果
????(??)
|
?????
??????(??)????2
=0 （5）
??2
??(??)(??，??)|?2?????? ??(??)(??，??)|?????
|?=-
≠0 （6）
将(5)、(6)二式代入(4)式我们可以得到在(???，???)附近有
??(??)=??(???)- =
??(???)-
??2(??)
1????2 ??(??，??)|?2?? ??(??)(??，??)|???????2(??)
1????2 ??(??，??)|?2?? ??(??)(??，??)|?????
·(????)2+ …
2
·（??????）+…
则显然在其中??>???或??
??2
??(??)(??，??)|?????2?? ??(??)(??，??)|?????
的符号决定，若
??2
??(??)(??，??)|?????2?? ??(??)(??，??)|?????
>0，则是??
一半，反之则是??>???的一半），??(??)???,??2
=??有两个解，分别是??1>
=??没有实数解
??
下面我们来探讨解的稳定性，在(???，???) 处???? ??在(???，???)附近展开得到（保留到一阶项）
??(??)
??(??，??) ????
(??)
(??，??)|?=+1，
????2??2(??)(??)(??)= ??(??，??)|?+2 ??(??，??)|?·????+ ??(??，??)|?·???? ????????????????
=1+????2 ?? =1+????2 ??
??2
??2(??)
(??，??)|?·????+
??2????????
??(??，??)|?·（
(??)
????(??)????
|?）·????
(??)
(??，??)|?·????
我们之前已经得到??(??)(??)=??的两个解中，有一个??1>???，即????>0 有一个??2
所以
??????
??
(??)
(??，??1(??))和
??????
??
(??)
(??，??2(??))一个大于1，一个小于1
由稳定性条件知，??(??)(??)
=??的两个解，一个解稳定，一个解不稳定。
至此，我们完成了切分岔定理的全部证明，证明过程来自作者本人。
3. 进一步的思考
3.1
考察切分岔定理
我们先对切分岔定理作进一步的考察 先看条件（1），作一般的考虑，条件（1）中的不动点???可以看作映射函数f(??，??)的一条周期n轨道中的任一点，我们把这条周期n轨道中的n个点分别记为??1, ??2，??3,…，????，其中??2= f(???，??1)，??3= f(???，??2),…,????= f(???，?????1), ??1= f(???，????),容易想到的是作为同一条周期n轨道中的点，在参数??变化的过程中，必将同时发生切分岔，这也就是说,在(???，??1)，(???，??2)，…，(???，????)点处必将同时满足切分岔定理所要求的条件（1）（2）（3）（4），另外，如果考虑到分岔的方向（在?????的一半），那还要保证，在每个点(???，??1)，(???，??2)，…，(???，????)处
??2
??(??)(??，??)2????的符号相同 ??(??) ??(??，??)????
3.2 逐条分析
① 在(???，??1)，(???，??2)，…，(???，????)处同时满足条件（1）是容
易验证的，这是因为??=???时，??1, ??2，??3,…，????处在同一条周
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