切分岔定理中的数学秘密
作者:安旭东
摘要:文章对切分岔定理作了介绍并附有详细的证明过程。读者将看到我们从切分岔定理出发,作出合乎逻辑的推测,提出数学问题,并最终给出证明的全过程。阅读本文只需要理工科大学低年级的微积分基础知识,谨以此文庆祝牛年。 关键词 切分岔 隐函数 不动点 稳定性 周期n轨道
1. 预备知识
1.1
不动点
考虑一个非线性映射f(??,??)(这里的非线性映射可以简单理解为自变量x的非线性函数,它由一个参数??来控制),若存在某个???,
使得映射的输入和输出数值相同,不再因为迭代而变化,即???= f(??,???),这时我们说,???为非线性映射f(??,??)的不动点。 显然,???也是非线性方程??- f(??,??)=0的解
1.2 稳定性分析
求得任何一个非线性问题以后,首要考虑的问题就是这个解是否稳定,研究的办法是在解附近做小扰动,看求解过程是收敛还是偏离开原来的解。 定义迭代过程: ????+1= f(??,????) (1) 将迭代过程(1)在不动点???附近作小扰动得到
????=???+????, (2) 其中????为无穷小量,将(2)式代入(1)式得到 ???+????+1= f(??,???+????) (3)
显然????和????+1是迭代前后对不动点的偏离,将(3)式右边展开到????的线性项,得到
???+????+1= f(??,???)+(
??f(??,??)????
|??=???)·????+….
利用不动点方程???= f(??,???)消去上式两端第一项后,有
????+1??f(??,??)
=|??=??? ????????
对于稳定的不动点,????+1的绝对值必须小于|????|,因此我们得到不动点
的稳定条件:
s ≡ |
??f(??,??)????
|??=??? ≤1. s =1是稳定边界,对应??′(??,???)=1和??′(??,???)=-1两种可能性.前者给出切分岔,后者给出倍周期分岔,本文重点讨论切分岔。
1.3 隐函数定理
最简单的隐函数定理可以表述为:当G(x0,y0)=0,而且G(x,y)在(x0,y0)附近可微分,且
????????
在(x0,y0)处不等于零时,在(x0,y0)
附近存在着唯一的解y=h(x),满足
(1)在(x0,y0)附近,G(x,h(x))=0成立; (2)
????(??)????
=- (
??G(??,??)
??????G(??,??)
????
)|??=??(??)
1.4 复合函数的记号
??(??)(??,??)为函数f(??,??)的n次复合函数
其中??
(2)
(??,??)=??(??,??(??,??))
(2)
??(3)(??,??)= ??(??,?? … … … ??(??)(??,??)=(??, ??
(??,??))
(???1)
(??,??))
注:预备知识中的说法均是参考郝柏林的书《从抛物线谈起-混沌动力学引论》
2. 切分岔定理
2.1
切分岔定理的内容:
如果映射函数f(??,??)满足以下条件: (1) 在(??,??)平面存在一个不动点
??(??)(???,???)= ???,
(2) 在此不动点处,达到稳定边界+1,即
??????
??
(??)
(??,??)|?=+1 (这里?表示(???,???))
(3) 在此不动点处,??(??)对参量??的偏导数不为零,即
??????
??
(??)
(??,??)|?≠0,
(4) 同时,二阶偏导数也不等于零:
??????2
??2(??)
(??,??)|?≠0
则在(??,??)附近存在一个小区域,例如长方形(从??????到???+
??,从??????到???+??),在其中??>???或????的一半(这与上面条件(3)和条件(4)中两个非零导数的相对符号有关),??(??)= ??有两个实数解,一个稳定,一个不稳定,而在另一半中??(??)= ??没有实数解
注:这里关于切分岔定理的表述同样出自郝柏林的书《从抛物线谈
起-混沌动力学引论》,感兴趣的读者也可以参考古根海默的文章
Guckenheimer P.Invent.Math.,1977,39:165.
2.2 切分岔定理的证明
第一步,引入一个辅助函数,h(??,??)≡??
(??)
(??,??)???
于是??(??)的的不动点就成为h的零点h(???,???)=0. 由(2)知
??????????????
??
|?=(
????
??(??)(??,??))|??1=1?1=0
??
由(3)知
|?=(
????
??(??)(??,??))|?≠0
则由隐函数定理可知,在(???,???)附近存在着唯一函数??(??)满足 ① 在(???,???)附近,h(??,??(??))=0 ②
????(??)????
=????|??=??(??) ??
?
将??(??)在(???,???)附近展开有(只保留到二阶) ??(??)= ??(???)+
????(??)????
|?·????+ 2
1??2??(??)
????2
|?·(????)2 +… (4)
由于在(???,???)附近,h(??,??(??))=0,将方程两边同时求一、二阶导数,很容易求得
????(??)????
|?和
??2??(??)????2
|?的值,我们在这里省略求解
过程,直接给出结果
????(??)
|
?????
??????(??)????2
=0 (5)
??2
??(??)(??,??)|?2?????? ??(??)(??,??)|?????
|?=-
≠0 (6)
将(5)、(6)二式代入(4)式我们可以得到在(???,???)附近有
??(??)=??(???)- =
??(???)-
??2(??)
1????2 ??(??,??)|?2?? ??(??)(??,??)|???????2(??)
1????2 ??(??,??)|?2?? ??(??)(??,??)|?????
·(????)2+ …
2
·(??????)+…
则显然在其中??>???或????的一半(可以看出,具体哪一半由
??2
??(??)(??,??)|?????2?? ??(??)(??,??)|?????
的符号决定,若
??2
??(??)(??,??)|?????2?? ??(??)(??,??)|?????
>0,则是????的
一半,反之则是??>???的一半),??(??)???,??2??,而在另一半中??(??)(??)
=??有两个解,分别是??1>
=??没有实数解
??
下面我们来探讨解的稳定性,在(???,???) 处???? ??在(???,???)附近展开得到(保留到一阶项)
??(??)
??(??,??) ????
(??)
(??,??)|?=+1,
????2??2(??)(??)(??)= ??(??,??)|?+2 ??(??,??)|?·????+ ??(??,??)|?·???? ????????????????
=1+????2 ?? =1+????2 ??
??2
??2(??)
(??,??)|?·????+
??2????????
??(??,??)|?·(
(??)
????(??)????
|?)·????
(??)
(??,??)|?·????
我们之前已经得到??(??)(??)=??的两个解中,有一个??1>???,即????>0 有一个??2??,即????<0
所以
??????
??
(??)
(??,??1(??))和
??????
??
(??)
(??,??2(??))一个大于1,一个小于1
由稳定性条件知,??(??)(??)
=??的两个解,一个解稳定,一个解不稳定。
至此,我们完成了切分岔定理的全部证明,证明过程来自作者本人。
3. 进一步的思考
3.1
考察切分岔定理
我们先对切分岔定理作进一步的考察 先看条件(1),作一般的考虑,条件(1)中的不动点???可以看作映射函数f(??,??)的一条周期n轨道中的任一点,我们把这条周期n轨道中的n个点分别记为??1, ??2,??3,…,????,其中??2= f(???,??1),??3= f(???,??2),…,????= f(???,?????1), ??1= f(???,????),容易想到的是作为同一条周期n轨道中的点,在参数??变化的过程中,必将同时发生切分岔,这也就是说,在(???,??1),(???,??2),…,(???,????)点处必将同时满足切分岔定理所要求的条件(1)(2)(3)(4),另外,如果考虑到分岔的方向(在????的一半或??>???的一半),那还要保证,在每个点(???,??1),(???,??2),…,(???,????)处
??2
??(??)(??,??)2????的符号相同 ??(??) ??(??,??)????
3.2 逐条分析
① 在(???,??1),(???,??2),…,(???,????)处同时满足条件(1)是容
易验证的,这是因为??=???时,??1, ??2,??3,…,????处在同一条周
切分岔定理中的数学秘密 - 图文
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)
![](/skin/haowen/images/icon_star.png)