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2.5离散型随机变量的均值
教学目标
（1）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； （2）能计算简单离散型随机变量均值（数学期望），并能解决一些实际问题． 教学重点，难点：取有限值的离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义． 教学过程 一．问题情境 1．情景：
前面所讨论的随机变量的取值都是离散的，我们把这样的随机变量称为离散型随机变量．这样刻画离散型随机变量取值的平均水平和稳定程度呢？
甲、乙两个工人生产同一种产品，在相同的条件下，他们生产100件产品所出的不合
格品数分别用X1,X2表示，X1,X2的概率分布如下．
X1 0 1 2 3 pk 0.7 0.1 0.1 0.1 X2 0 1 2 3 pk 0.5 0.3 0.2 0 2．问题：
如何比较甲、乙两个工人的技术？ 二．学生活动
1． 直接比较两个人生产100件产品时所出的废品数．从分布列来看，甲出0件废品的概率比
乙大，似乎甲的技术比乙好；但甲出3件废品的概率也比乙大，似乎甲的技术又不如乙好．这样比较，很难得出合理的结论． 2． 学生联想到“平均数”，，如何计算甲和乙出的废品的“平均数”？ 3． 引导学生回顾《数学3（必修）》中样本的平均值的计算方法． 三．建构数学 1．定义
在《数学3（必修）》“统计”一章中，我们曾用公式x1p1?x2p2?...?xnpn计算样本的平均值，其中pi为取值为xi的频率值．
类似地，若离散型随机变量X的分布列或概率分布如下：
X x1 x2 … xn ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
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P p1 p2 … pn 其中，pi?0,i?1,2,...,n,p1?p2?...?pn?1，则称x1p1?x2p2?...?xnpn为随机变量
X的均值或X的数学期望，记为E(X)或?．
2．性质
（1）E(c)?c；（2）E(aX?b)?aE(X)?b．（a,b,c为常数）
四．数学运用 1．例题：
例1．高三（1）班的联欢会上设计了一项游戏，在一个小口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．某学生一次从中摸出5个球，其中红球的个数为X，求X的数学期望． 分析：从口袋中摸出5个球相当于抽取n?5个产品，随机变量X为5个球中的红球的个
数，则X服从超几何分布H(5,10,30)．
解：由2．2节例1可知，随机变量X的概率分布如表所示： X P 从而
0 1 2 3 4 5 2584 237518075 237518550 237513800 23751700 2375142 237512584807585503800700425?1??2??3??4??5???1.66672375123751237512375123751237513 答：X的数学期望约为1.6667．
E(X)?0?rn?rrCMCNM?M说明：一般地，根据超几何分布的定义，可以得到E(X)??． ?nnCNr?0Nn例2．从批量较大的成品中随机取出10件产品进行质量检查，若这批产品的不合格品率为0.05，随机变量X表示这10件产品中不合格品数，求随机变量X的数学期望E(X)． 解：由于批量较大，可以认为随机变量X~B(10,0.05)，
kP(X?k)?pk?C10pk(1?p)10?k,k?0,1,2,...,10
随机变量X的概率分布如表所示：
X 0 1 2 3 4 5 234501pk C10p2(1?p)8 C10p3(1?p)7 C10p4(1?p)6 C10p5(1?p)5 p0(1?p)10 C10p1(1?p)9 C10▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
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X 6 7 8 9 10 67810109pk C10p6(1?p)4 C10p7(1?p)3 C10p8(1?p)2 C10p(1?p)0 p9(1?p)1 C10故E(X)??kpk?010k?0.5
即抽10件产品出现不合格品的平均件数为0.5件．
说明：例2中随机变量X服从二项分布，根据二项分布的定义，可以得到：当X~B(n,p) 时，E(X)?np．
例3．设篮球队A与B进行比赛，每场比赛均有一队胜，若有一队胜4场则比赛宣告结束，假定A,B在每场比赛中获胜的概率都是
1，试求需要比赛场数的期望． 2分析：先由题意求出分布列，然后求期望 解：（1）事件“X?4”表示，A胜4场或B胜4场（即B负4场或A负4场），且两两互斥．
1111240P(X?4)?C4?()4?()0?C4?()0?()4?；
222216（2）事件“X?5”表示，A在第5场中取胜且前4场中胜3场，或B在第5场中取胜且前4场中胜3场（即第5场A负且4场中A负了3场），且这两者又是互斥的，所以
131314?3111114?14P(X?5)?C4()()?C4()()?
22222216（3）类似地，事件“X?6”、 “X?7”的概率分别为
131315?3121215?25P(X?6)?C5()()?C5()()?，
22222216131316?3131316?35P(X?7)?C6()()?C6()()?
22222216比赛场数的分布列为 X 4 5 6 7 55 16162455?5??6??7??5.8125（场） 故比赛的期望为E(X)?4?16161616 P 这就是说，在比赛双方实力相当的情况下，平均地说，进行6场才能分出胜负．
2．练习：
据气象预报，某地区下个月有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01．现工地上有一台大型设备，为保护设备有以下三种方案： 方案1：运走设备，此时需花费3800元；
方案2：建一保护围墙，需花费2000元．但围墙无法防止大洪灾，若大洪灾来临，设备受损，损失费为60000元；
方案：不采取措施，希望不发生洪水，此时大洪水来临损失60000元，小洪水来临损失
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2 164 16▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌精诚凝聚 =^_^= 成就梦想 ▁▂▃▄▅▆▇█▉▊▋▌
1000元．
试选择适当的标准，对3种方案进行比较． 五．回顾小结：
1．离散型随机变量均值（数学期望）的概念和意义； 2．离散型随机变量均值（数学期望）的计算方法；
3．超几何分布和二项分布的均值（数学期望）的计算方法． 六．课外作业：
离散型随机变量的均值与方差
教学目标
（1）进一步理解均值与方差都是随机变量的数字特征，通过它们可以刻划总体水平； （2）会求均值与方差，并能解决有关应用题．
教学重点，难点：会求均值与方差，并能解决有关应用题． 教学过程 一．问题情境 复习回顾：
1．离散型随机变量的均值、方差、标准差的概念和意义，以及计算公式． 2．练习
设随机变量X~B(n,p)，且E(X)?1.6,V(X)?1.28，则n? ，p? ； 答案：n?8,p?0.2
二．数学运用 1．例题：
例1．有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡，先集中起来，然后每人去拿一张，记自己拿自己写的贺年卡的人数为X．（1）求随机变量X的概率分布；（2）求X的数学期望和方差． 解：（1）
P(X?4)?11689?,P(X?3)?0,P(X?2)?,P(X?1)?,P(X?0)?，4A4242424240 1 2 3 4 因此X的分布列为 X P 9861 0 242424249861?1??2??3?0?4??1， （2）E(X)?0?242424249861V(X)?(0?1)2??(1?1)2??(2?1)2??(3?1)2?0?(4?1)2??1
24242424例2．有甲、乙两种品牌的手表，它们日走时误差分别为X,Y（单位：s），其分布列如下： X P ?1 0.1 0 0.8 1 0.1 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓点亮心灯 ~~~///(^v^)\\\\\\~~~ 照亮人生 ▃ ▄ ▅ ▆ ▇ █ █ ■ ▓
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Y P ?2 0.1 ?1 0.2 0 0.4 1 0.2 2 0.1 比较两种品牌手表的质量．
分析：期望与方差结合能解决实际应用中质量好坏、产品质量高低等问题．特别是期望相等时，可在看方差．本题只要分别求出两种品牌手表日走时误差的期望和方差，然后通过数值的大小进行比较．
解：E(X)??1?0.1?0?0.8?1?0.1?0(s)，
E(Y)??2?0.1?1?0.2?0?0.4?1?0.2?2?0.1?0(s)
所以 E(X)?E(Y)，所以由期望值难以判断质量的好坏． 又因为V(X)?(?1?0)0.1?(0?0)0.8?(1?0)0.1?0.2(s)
2222V(Y)?(?2?0)20.1?(?1?0)20.2?(0?0)20.4?(1?0)20.2?(2?0)20.1?1.2(s2) 所以V(X)?V(Y)，可见乙的波动性大，甲的稳定性强，故甲的质量高于乙．
例3．某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是
0.4,0.5,0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设?表示客人离开该城市时游览的景
点数与没有游览的景点数之差的绝对值． （Ⅰ）求?的分布列及数学期望；
（Ⅱ）记“函数f(x)?x?3?x?1在区间[2,??)上单调递增”为事件A，求事件A的概率. 分析：（2）这是二次函数在闭区间上的单调性问题，需考查对称轴相对闭区间的关系，就本题而言，只需??2即可．
解：（1）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”
为事
232件A1,A2,A3． 由已知A1,A2,A3相互独立，P(A1)?0.4,P(A2)?0.5,P(A3)?0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应的，客人没有游览的景点数的可能取值为3，2，1，0，所以?的可能取值为1，3．
P(??3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)
?P(A1)P(A2)P(A3)?P(A1)P(A2)P(A3)?2?0.4?0.5?0.6?0.24
P(??1)?1?0.24?0.76
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高中数学：2.5《离散型随机变量的均值》（二） 教案(北师大选修2-3)
