第3课时 特殊角的三角函数值
关键问答
①求特殊角的三角函数值的方法是什么？ ②特殊角的三角函数的运算常用到什么知识？ ①
1．sin60°的值为( ) 123
A. B. C. D.3 222
2．计算：sin30°＋cos30°·tan60°＝________. 3．在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sinA＝
31
，cosB＝，则∠C的度数是________． 22
命题点 1 直接求特殊角的三角函数值 [热度：96%]
③
4．如图28－1－35，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO的长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值为( )
②
图28－1－35
A.
3123 B. C. D. 3222
解题突破
③本题中所作的△AOB是一个等边三角形．
5．正方形网格中，∠AOB如图28－1－36放置，则tan∠AOB的值为( )
图28－1－36
123A. B．1 C. D. 223
6.如图28－1－37，等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则的值为________．
④
AGAF 1
图28－1－37
解题突破
④通过证明△CBD与△ACE全等，结合全等三角形的对应角相等，可得∠AFG的度数为定值.
命题点 2 特殊角的三角函数之间的计算 [热度：92%]
11
7．因为sin30°＝，sin210°＝－，所以sin210°＝sin(180°＋30°)＝－sin30°；
22因为sin45°＝
22
，sin225°＝－，所以sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°.由22
此猜想、推理知：一般地，当α为锐角时，有sin(180°＋α)＝－sinα，由此可知，sin240°
的值为( )
123
A．－ B．－ C．－ D．－3
2222sin30°3⑤
8.计算：－cos60°.
2sin60°－tan45°2
方法点拨
⑤因为特殊角的三角函数值很容易记混，所以最好结合图形根据锐角三角函数的定义来理解记忆.
9．已知：a△b＝ab＋(a－b)，例如：2△3＝2×3＋(2－3)＝5，求sin30°△(tan45°－tan60°)的值．
命题点 3 含有特殊角的三角函数的实数运算 [热度：98%]
10.化简（tan30°－1）的结果为( ) A．1－
33
B.3－1 C.－1 D．1－3 33
⑥
2
易错警示 ⑥a2??a（a≥0），＝|a|＝? ?－a（a<0）.?
0
11．计算：8＋3tan30°－|sin45°－1|－(2019－2cos60°).
命题点 4 由三角函数值求锐角的度数 [热度：95%]
12⑦
12.若在△ABC中，锐角A，B满足|tanA－3|＋(cosB－)＝0，则△ABC是( )
2
2
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解题突破
⑦这里需要用“若几个非负数的和为0，则每一个非负数都为0”解题．
13．已知关于x的一元二次方程x－2x＋sinα＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( )
A．15° B．30° C．45° D．60° 解题突破
⑧由一元二次方程有两个相等的实数根，可得到根的判别式应该满足什么条件？
14．已知
⑨⑧
2
1
无意义，且α为锐角，则sin(α－15°)＋cos(α－15°)＝
1－tanα________．
解题突破
⑨分式无意义的条件是分母等于零．
15．如图28－1－38，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，D是AC的中点，那么tan∠DBC的值是________．
图28－1－38
16．已知α为锐角，且cosα是方程2x－7x＋3＝0的一个根，求1－2sin30°cosα的值．
易错警示
⑩求出方程的根后，还要根据0＜cosα＜1(α为锐角)对cosα的值进行取舍． 命题点 5 锐角的范围和三角函数值的取值范围之间的转换 [热度：91%]
?
17．已知在△ABC中，∠C＝90°且△ABC不是等腰直角三角形，设sinB＝n，当∠B是最小的内角时，n的取值范围是( )
A．0＜n＜2133 B．0＜n＜ C．0＜n＜ D．0＜n＜ 2232
⑩
2
解题突破
?利用∠B小于另一个锐角∠A，可得到∠B的取值范围，再由正弦函数的增减性进行判断.
18．若锐角α满足cosα＜
2
且tanα＜3，则α的范围是( ) 2
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
命题点 6 用计算器探究三角函数中的规律 [热度：82%] ?
19.利用计算器求下列三角函数值并填空．(精确到0.0001)
(1)sin10°，cos10°，sin30°，cos30°，sin45°，cos45°，sin60°，cos60°.
3
猜想：当0°＜α＜45°时，sinα________cosα；当45°＜α＜90°时，sinα________cosα.(填“＞”“＜”或“＝”)
(2)sin20°，cos70°，sin44°，cos46°，sin18°28′，cos71°32′. 猜想：sinα＝cos________；sin________＝cosα. 方法点拨 ?先用计算器求出各个三角函数值，然后比较它们的大小，并观察角度的变化和三角函数值的变化，据此寻找规律.
20.亲爱的同学们，在我们进入高中以后，还将会学到三角函数公式：sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ，cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ.
例如：sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝(1)试仿照例题，求出cos75°的准确值； sinα(2)若tanα＝，试求出tan75°的准确值．
cosα
拓展探究 ?你还能用其他方法求出sin75°和cos75°的准确值吗？ ?
21.对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα＝sin(180°－α)，cosα＝－cos(180°－α)． (1)求sin120°，cos120°，sin150°的值；
(2)若一个三角形的三个内角的比是1∶1∶4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，
2
cosB是方程4x－mx－1＝0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
模型建立 ?互补的两个角的正弦值相等；互补的两个角的余弦值互为相反数.
6＋2
. 4
?
4
详解详析
1．C 2.2 3.60°
1
4．B [解析] 连接AB，由题意可得△AOB是等边三角形，所以cos∠AOB＝cos60°＝.
25．B 6.
3
[解析] 因为△ABC是等边三角形，所以AC＝BC＝AB，∠ACE＝∠B＝60°. 2
又因为AD＝BE，所以BD＝CE，
所以△ACE≌△CBD，所以∠CAE＝∠BCD. 因为∠BCD＋∠ACF＝60°，
所以∠CAE＋∠ACF＝60°＝∠AFG， 所以sin∠AFG＝＝
AGAF3. 2
3. 2
7．C [解析] sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－
12×2
2sin30°331132 3＋2－3
8．解：－cos60°＝－×＝－＝＝
2sin60°－tan45°222433－14
2×－1
22 3－1
. 4
111
9．解：由题意，得sin30°△(tan45°－tan60°)＝△(1－3)＝×(1－3)＋(－
2221＋3)＝
3
. 2
2
10．A [解析] （tan30°－1）＝?
3?3?
－1?＝1－.
3?3?
0
11．解：8＋3tan30°－|sin45°－1|－(2019－2cos60°) ＝2 2＋3×5
＝ 2－1. 2
121
12．D [解析] 由|tanA－3|＋(cosB－)＝0，得tanA－3＝0，cosB－＝0，从而
22有∠A＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形．
1
13．B [解析] 由题意得Δ＝2－4sinα＝0，解得sinα＝，∴α＝30°.
2
1＋314. [解析] 由题意知tanα＝1，所以α＝45°，所以sin(α－15°)＋cos(α2131＋3
－15°)＝sin30°＋cos30°＝＋＝. 222
15.3AC [解析] 在△ABC中，∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴tan∠ABC＝tan60°＝＝2BC32
－1＋－1 32
5
九年级数学下册 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 第3课时 特殊角的三角函数值课时训练 (新版)
