[基础达标]
1.椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为________．
22
1?yx11>1，故a2＝，b2＝1，所以a＝解析：把椭圆的方程化为标准形式＋＝1?，?m?11mm
m
11
b＝1，2＝4，解得，m＝，符合题意．
m41答案：
4
1
2.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，离心率为，则椭圆的方
3程是________．
c1
解析：由题意，知2a＝12，＝，故a＝6，c＝2，
a3
x2y2222
∴b＝a－c＝32，故所求椭圆的方程为＋＝1.
3632
22xy
答案：＋＝1
3632
3
3.已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足0 2 222 a2－13c2a－ba－1 解析：由e＝2＝2＝2，得0<2≤，解得1 aaaa4 2 即长轴的最大值是4. 答案：4 4.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是________． 解析：由题意知2b＝a＋c，又b2＝a2－c2， ∴4(a2－c2)＝a2＋c2＋2ac. ∴3a2－2ac－5c2＝0，∴5c2＋2ac－3a2＝0. 3 ∴5e2＋2e－3＝0，∴e＝或e＝－1(舍去)． 5 3答案： 5 x2y21 5.若椭圆＋＝1的离心率为，则m的值为________． 16m3 m1161128 解析：由已知得1－＝或1－＝，∴m＝或18. 169m99 128 答案：或18 9 →→6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离 心率的取值范围是________． 解析：结合图形(图略)，转化为c 2? 2?? x2y2 7.设P为椭圆2＋2＝1(a>b>0)上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，如果∠PF1F2＝75°， ab答案：?0， 第 1 页 ∠PF2F1＝15°，则椭圆的离心率是________． 解析：在Rt△PF1F2中，由正弦定理， PF1PF2F1F2得＝＝＝2c， sin 15°sin 75°sin 90°∴＝2c. sin 15°＋sin 75° 由椭圆的定义，知PF1＋PF2＝2a. c16 代入上式，有e＝＝＝. asin 75°＋sin 15°3答案： 6 3PF1＋PF2 x2y2 8.在平面直角坐标系xOy中，以椭圆2＋2＝1(a>b>0)上的一点A为圆心的圆与x轴相 ab切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B、C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的率心率的取值范围是________． πb2Ac 解析：由题意得，圆半径r＝，因为△ABC是锐角三角形，所以cos 0>cos＝>cos， a2r4即 ?6－22c2ac2e5－1? <<1，所以<22<1，即<<1，解得e∈??. 2r2a－c21－e2?2，2?答案：? 5－1??6－2 ? ，2??2 9.已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，短轴的一个顶点B与两个 2π 焦点F1，F2组成的三角形的周长为4＋23，且∠F1BF2＝，求椭圆的标准方程． 3π3 解：设长轴长为2a，焦距为2c，则在△F2OB中，由∠F2BO＝得：c＝a，所以△F2BF1 32 x22 的周长为2a＋2c＝2a＋3a＝4＋23，∴a＝2，c＝3，∴b＝1；故所求椭圆的标准方程为 4＋y2＝1. x22 10.已知椭圆C1：＋y＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率． 4(1)求椭圆C2的方程； (2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上， →→ OB＝2OA，求直线AB的方程． y2x2 解：(1)由已知可设椭圆C2的方程为2＋＝1(a>2)， a4a2－43 ＝，则a＝4， a222yx 故椭圆C2的方程为＋＝1. 1643 其离心率为，故2 →→ (2)法一：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)，由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx. 第 2 页 x22 将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 44 所以x2， A＝2 1＋4k y2x2 将y＝kx代入＋＝1中，得(4＋k2)x2＝16， 16416 所以x2， B＝ 4＋k2 1616→→2 又由OB＝2OA，得x2＝， B＝4xA，即22 4＋k1＋4k解得k＝±1，故直线AB的方程为y＝x或y＝－x. 法二：A，B两点的坐标分别记为(xA，yA)，(xB，yB)， →→ 由OB＝2OA及(1)知，O，A，B三点共线且点A，B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y＝kx. x22 将y＝kx代入＋y＝1中，得(1＋4k2)x2＝4， 44 所以x2＝， A2 1＋4k 1616k2→→22 由OB＝2OA，得xB＝，yB＝， 1＋4k21＋4k2将 y2x222 xB，yB代入＋＝1 16 4 22 中，得＝1，即4＋k＝1＋4k，解得k＝±1，故直线AB 1＋4k2 4＋k2 的方程为y＝x或y＝－x. xy 1.过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原 54点，则△OAB的面积为________． xy?22＋＝1?xy54 解析：椭圆＋＝1的右焦点F2(1，0)，故直线AB的方程y＝2(x－1)，由?， 54 ??y＝2（x－1）消去y，整理得3x2－5x＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1 54?5 则x1，x2是方程3x2－5x＝0的两个实根，解得x1＝0，x2＝，故A(0，－2)，B? ?3，3?，3 415|－2|＋?×1＝. 故S△OAB＝S△OFA＋S△OFB＝×?3?2?3 5答案： 3 x2y23a 2.设F1、F2是椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1 ab2是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为________． 解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°， ∴∠PF2x＝60°. 2 2 2 2 [能力提升] 第 3 页 3 a－c?＝3a－2c. ∴PF2＝2×??2? ∵F1F2＝2c，F1F2＝PF2， c3 ∴3a－2c＝2c，∴e＝＝. a4 3答案： 4x2y2 3.椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，求点P 94的横坐标的取值范围． 解：设点P的坐标为(x，y)，F1(－5，0)，F2(5，0)， 在三角形PF1F2中， 22 PF21＋PF2－F1F2 由余弦定理得：cos ∠F1PF2＝， 2PF1·PF2 因为PF1＋PF2＝6，F1F2＝25， 36－2PF1·PF2－2016161 故cos ∠F1PF2＝＝－1≥－1＝－， 92PF1·PF22PF1·PF2?PF1＋PF2?2 2?? 2?? 1 当且仅当PF1＝PF2时取等号，即－≤cos ∠F1PF2≤1. 9 1 所以当－≤cos ∠F1PF2<0时，∠F1PF2为钝角． 9→→→ 令PF1·PF2＝0，因为PF1＝(－5－x，－y)， → PF2＝(5－x，－y)，则x2－5＋y2＝0， 935 y2＝－x2＋5，代入椭圆方程得：x2＝，x＝±， 553535 所以点P的横坐标的取值范围是－ x2y2 4.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－ ab3 c，0)、F2(c，0)．已知点(1，e)和?e，?都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率． 2??(1)求椭圆的方程； (2)设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P. 6 (ⅰ)若AF1－BF2＝，求直线AF1的斜率； 2 (ⅱ)求证：PF1＋PF2是定值． c 解：(1)由题设知a2＝b2＋c2，e＝. a2 1c 由点(1，e)在椭圆上，得2＋22＝1， aab解得b2＝1，于是c2＝a2－1. 第 4 页 a－13e33 又点?e，?在椭圆上，所以2＋2＝1，即4＋＝1，解得a2＝2. a4ba42?? 2 2 x22 因此，所求椭圆的方程是＋y＝1. 2 (2)由(1)知F1(－1，0)，F2(1，0)，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为x＋1＝my，直线BF2的方程为x－1＝my.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1>0，y2>0. 2x12??2＋y1＝1，由?得(m2＋2)y21－2my1－1＝0， ??x1＋1＝my1， m＋2m2＋2解得y1＝， m2＋2故AF1＝ （x1＋1）2＋（y1－0）2＝2（m2＋1）－mm2＋2 2 （my1）2＋y1＝ 2（m2＋1）＋m m2＋2 m2＋1 .① 同理，BF2＝m2＋1.② 2mm2＋1 (ⅰ)由①②得AF1－BF2＝， m2＋2解2m m2＋16 ＝得m2＝2，注意到m>0，故m＝2. 22m＋2 12 所以直线AF1的斜率为＝. m2 PBBF2 (ⅱ)证明：因为直线AF1与BF2平行，所以＝， PF1AF1PB＋PF1BF2＋AF1 于是＝， PF1AF1 AF1故PF1＝BF1. AF1＋BF2 由B点在椭圆上知BF1＋BF2＝22， AF1从而PF1＝(22－BF2)． AF1＋BF2 BF2同理，PF2＝(22－AF1)． AF1＋BF2 2AF1·BF2AF1BF2因此PF1＋PF2＝(22－BF2)＋·22－AF1＝22－. AF1＋BF2AF1＋BF2AF1＋BF2 () 22（m2＋1） 由①②得，AF1＋BF2＝， m2＋2m2＋1 AF1·BF2＝2， m＋2 第 5 页
2018-2019数学苏教版选修2-1作业：第2章2.2.2 椭圆的几何性质-word
