立体几何中的最值问题
1、利用垂直关系确定高的最值
锥体的体积由底面面积和高决定，底面确定只要高最大即可，借助面面垂直的性质和特殊位置关系确定高的最值进而求得体积最值。
例1．表面积为60π的球面上有四点S、A、B、C，且△ABC是等边三角形，球心O到平面ABC的距离为
1．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是矩形，AB＝2，AD＝3，PA＝4，E为棱CD上一点，则三棱锥E﹣PAB的体积为 ．
2．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为 ． 2、利用圆锥曲线定义转化为点到面距离的最值
例2．已知正方形ABCD的边长为6，空间有一点M（不在平面ABCD内）满足|MA|+|MB|＝10，则三棱锥A﹣BCM的体积的最大值是（ ） A．48
B．36
C．30
D．24
，若平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC体积的最大值为 ．
3、利用侧面展开图求距离的最小值
解决空间图形中表面距离最短的问题，常采用“化曲为直”的思想，把空间图形沿侧棱（或母线）展开，达到化空间几何问题为平面几何问题。
例3．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝3，AA1＝4，M为AA1的中点，P是BC上一点，且由P沿棱柱侧面经过棱CC1到M的最短路线长为
1、圆台的上、下底面半径分别为5cm、10cm，母线长AB＝20cm，从圆台母线AB的中点M
，设这条最短路线与CC1的交点为N，求P点的位置．
拉一条绳子绕圆台侧面转到B点（B在下底面），求： （1）绳子的最短长度；
（2）在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离；
（3）圆锥底面半径为r，母线长为4r，求从底面边缘一点A出发绕圆锥侧面一周再回到A的最短距离．
2．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为 ．
4、利用目标函数求体积的最值
解决此类问题的两大核心思路：一是化立体问题为平面问题，结合平面几何的相关知识求解；二是建立目标函数的数学思想，选择合理的变量构建目标函数，常利用导数或利用基本不等式，求其最值。
例4．某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率＝
1．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，线段EF，GH分别在AB，CC1上移动，且EF+GH＝，则三棱锥EFGH的体积最大值为 ．
2．已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大（柱体体
） ．
积＝底面积×高）时，其高的值为（ ） A．
B．
C．
D．
例5．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为xcm，体积为Vcm3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V的最大值是多少？并求此时x的值．
1．已知正四棱锥的侧棱长为1，则其体积的最大值为 ．
2．有一个各条棱长均为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能剪裁，但可以折叠，则包装纸的最小边长是 ．
3．如图，在空间直角坐标系中有棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，设M（0，x，x），点M 到直线AD1的距离为d，则d关于x的函数d＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
变式：求点M 到直线AD1的最小距离 ．
真题再现：
立体几何中的最值问题
