时作业11 函数与方程
一、选择题
??lnx，x>0，
1．函数f(x)＝?
?－xx＋2，x≤0?
的零点个数是( D )
B．1 D．3
A．0 C．2
因此函数的零点个数为3.故选D.
解析：当x>0时，令f(x)＝0可得x＝1；当x≤0时，令f(x)＝0可得x＝－2或x＝0.2
2．方程ln(x＋1)－＝0(x>0)的根存在的大致区间是( B )
xA．(0,1) C．(2，e)
B．(1,2) D．(3,4)
2
解析：令f(x)＝ln(x＋1)－，则f(1)＝ln(1＋1)－2＝ln2－2<0，f(2)＝ln3－1>0，
x所以函数f(x)的零点所在大致区间为(1,2)．故选B.
3．已知函数f(x)＝log3A．(－1，－log32) C．(log32,1)
解析：∵单调函数f(x)＝log3
x＋2
－a在区间(1,2)内有零点，则实数a的取值范围是( C ) xB．(0，log52) D．(1，log34)
x＋2
－a在区间(1,2)内有零点，∴f(1)·f(2)<0，即(1x－a)·(log32－a)<0，解得log32 4．关于x的方程|x－2x|＝a＋1(a>0)的解的个数是( B ) A．1 B．2 C．3 D．4 2 2 解析：∵a>0，∴a＋1>1.而y＝|x－2x|的图象如图所示，∴y＝|x－2x|的图象与y＝ 222 a2＋1的图象总有2个交点，即方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是2. 5．(2019·广东七校联合体联考)若函数f(x)＝2＋ax－2a的零点在区间(0,1)上，则 x2 实数a的取值范围是( C ) 1??A.?－∞，? 2?? B．(－∞，1) D．(1，＋∞) ?1?C.?，＋∞? ?2? 1 2 解析：易知函数f(x)的图象连续，且在(0,1)上单调递增．∴f(0)f(1)＝(1－2a)(2＋ a2－2a)<0，解得a>. 6．已知函数f(x)＝lnx－ax＋ax恰有两个零点，则实数a的取值范围为( C ) A．(－∞，0) C．(0,1)∪(1，＋∞) B．(0，＋∞) D．(－∞，0)∪{1} 2 2 解析：由题意，显然x＝1是函数f(x)的一个零点，取a＝－1，则f(x)＝lnx＋x－x， ?x－1?2＋72??2 2x－x＋1?4?8 f′(x)＝＝>0恒成立．则f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除A、 xx1－2x＋x1＋2xD；取a＝1，则f(x)＝lnx－x＋x，f′(x)＝＝ 2 2 1－xxx，f′(x)＝0 得x＝1，则f(x)在(0,1)上递增，在(1，＋∞)上递减，f(x)max＝f(1)＝0，即f(x)仅有一个零点，不符合题意，排除B，故选C. 二、填空题 ?x＋3，x≤1，? 7．已知f(x)＝?2 ??－x＋2x＋3，x>1， x 则函数g(x)＝f(x)－e的零点个数为2. xx解析：函数g(x)＝f(x)－e的零点个数即为函数y＝f(x)与y＝e的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g(x)＝f(x)－e有2个零点． x 8．若函数f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2和3，则不等式af(－2x)>0的解集是 2 ??3?x|－ 2?? 解析：∵f(x)＝x＋ax＋b的两个零点是－2，3. ∴－2,3是方程x＋ax＋b＝0的两根， ?－2＋3＝－a，?由根与系数的关系知? ??－2×3＝b. 2 2 ∴? ?a＝－1，? ??b＝－6， ∴f(x)＝x－x－6. 2 ??322 ∵不等式af(－2x)>0，即－(4x＋2x－6)>0?2x＋x－3<0，解集为?x|－ 2???log2x－1，x>1，? 9．已知函数f(x)＝?3 ??x－3x＋1，x≤1， 则函数f(x)的零点个数为3. 解析：解法1：当x>1时，由log2(x－1)＝0得x＝2，即x＝2为函数f(x)在区间(1，＋∞)上的一个零点；当x≤1时，∵f(x)＝x－3x＋1，∴f′(x)＝3x－3，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝1，∵当x<－1时，f′(x)>0，当－1≤x≤1时，f′(x)≤0，∴x＝－1为函数f(x)＝x－3x＋1在(－∞，1]上的极大值点，∵f(－1)＝3>0，f(1)＝－1<0，且当x→－∞时，f(x)→－∞，∴函数f(x)＝x－3x＋1在(－∞，1]上有两个不同的零点．综上，函数f(x)的零点个数为3. 解法2：当x>1时，作出函数y＝log2(x－1)的图象如图1所示，当x≤1时，由f(x)＝x－3x＋1＝0得，x＝3x－1，在同一个平面直角坐标系中分别作出函数y＝x和y＝3x－1的图象如图2所示，由图1,2可知函数f(x)的零点个数为3. 3 3 3 3 3 3 2
高考理科数学一轮复习函数与方程专题复习题
