第二章 随机变量及其分布
教学目的与教学要求：理解随机变量的概念；掌握离散和连续随机变量的描述方法；理解分布函数、概率分布列和概率密度函数的概念和性质；会利用概率分布计算有关事件的概率；掌握二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布、均匀分布等；会求简单随机变量函数的概率分布及特征数。
教学重点：不同类型的随机变量的概率分布的概念和性质、常用的离散和连续分布、随机变量的数学期望与方差的概念和性质、随机变量函数的分布。
教学难点：概率分布和数学期望以及方差性质的应用、随机变量函数的分布。 教学措施：理论部分的教学多采用讲授法，注意思想方法的训练，计算类问题采用习题与讨论的方法进行教学。 教学时数：20学时 教学过程：
§2.1 随机变量及其分布
例2.1.1 (1) 掷一颗骰子，出现的点数X：1、2、…、6； (2) n个产品中的不合格品个数Y：0、1、2、…、n； (3) 某商场一天来的顾客数Z：0、1、2、…； (4) 某种型号电视机的寿命T：[0,??)。
§2.1.1 随机变量的概念
定义2.1.1 定义在样本空间?上的实值函数称为随机变量，常用大写X、
Y、Z等表示；随机变量的取值用小写字母x、y、z等表示。
注意：(1) 随机变量X(?)是样本点?的函数，其定义域为?，其值域为
R?(??,??)，若X表示掷一颗骰子出现的点数，则{X?1.5}是不可能事件；
(2) 若X为随机变量，则{X?k}、{a?X?b}、…均为随机事件，即：
{a?X?b}?{?:a?X(?)?b}??；
(3) 注意以下一些表达式：
{X?k}?{X?k}?{X?k} {a?X?b}?{X?b}?{X?a} {X?b}???{X?b}
(4) 同一样本空间可以定义不同的随机变量。 两类随机变量：
若随机变量X可能取值的个数为有限个或可列个，则称X为离散随机变量；
若随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b)，则称X为连续随机变量，其中a可以是??，b可以是??。前例2.1.1中的X、Y、Z为离散随机变量；而T为连续随机变量。
§2.1.2 随机变量的分布函数
定义2.1.2 设X是一个随机变量，对任意实数x，称
F(x)?p(X?x)
为随机变量X的分布函数，且称X服从F(x)，记为X~F(x)，有时也可用FX(x)表明是X的分布函数。
定理2.1.1 任一个分布函数F(x)都有如下三条基本性质：
(1) 单调性：F(x)是定义在整个实数轴(??,??)上的单调非减函数，即对任意的x1?x2，有F(x1)?F(x2)；
(2) 有界性：?x，有0?F(x)?1，且
F(??)?limF(x)?0
x???F(??)?limF(x)?1
x???(3) 右连续性：F(x)是x的右连续函数，即对任意的x0，有
x?x0?limF(x)?F(x0)
即：F(x0?0)?F(x0)。
注：(1) 上述三条可以作为判断一个函数是否为分布函数的充要条件；
(2) 有了分布函数的定义，可以计算：
p(a?X?b)?F(b)?F(a) p(X?a)?F(a)?F(a?0) p(X?b)?1?F(b?0)等。
§2.1.3 离散随机变量的概率分布列
x2、定义2.1.3 设X是一个离散随机变量，如果X的所有可能取值是x1、…、xn、…，则称X取xi的概率
pi?p(xi)?p(X?xi) (i?1,2,Ln,L)
为X的概率分布列或简称为分布列，记为X~?pi?。
分布列也可用下列形式表示： X p x1 p(x1) x2 p(x2) … … xn p(xn) … … 分布列的基本性质： (1) 非负性：p(xi)?0 (i?1,2,L) (2) 正则性：?p(xi)?1。
i?1??注：(1) 上述两条可以作为判断一个数列是否为分布列的充要条件； (2) 离散随机变量的分布函数为：F(x)??p(xi)。
xi?x求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值； (2) 计算每个取值点的概率。
对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数；
(2) 其间断点均为右连续的；
(3) 其间断点即为X的可能取值点；
(4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值。 例2.1.2 已知X的分布列如下： 0 1 X 11p 36求X的分布函数？ 解：
?0?13?F(x)???12??1?0?0.4?F(x)???0.8??1x?00?x?11?x?22?xx?00?x?11?x?22?x2 1 2。
例2.1.3 已知X的分布函数如下，求X的分布列？
解：X的分布列如下： X p 0 0.4 1 0.4 2 0.2
§2.1.4 连续随机变量的概率密度函数
因为连续随机变量X的可能取值充满某个区间(a,b)，所以对连续随机变量
X，有p(X?c)?0，从而无法仿离散随机变量用p(X?c)来描述连续随机变量X的分布；
定义2.1.4 设随机变量X的分布函数为F(x)，如果存在实数轴上的一个非负可积函数p(x)，使得对任意实数x，有
F(x)??p(t)dt
??x则称X为连续随机变量，称p(x)为X的概率密度函数，简称为密度函数。
密度函数的基本性质： (1) 非负性：p(x)?0； (2) 正则性：?????p(x)dx?1。
b注：(1) 上述两条可以作为判断一个函数是否为密度函数的充要条件； (2) p(a?X?b)??p(x)dx；
a(3) F(x)是(??,??)上的连续函数； (4) p(X?x)?F(x)?F(x?0)?0；
(5) p(a?X?b)?p(a?X?b)?p(a?X?b)?p(a?X?b)?F(b)?F(a)； (6) 当F(x)在x点可导时，p(x)?F?(x)，当F(x)在x点不可导时，p(x)?0。 离散随机变量与连续随机变量对比： 离散随机变量 分布列：pi?p(X?xi)（唯一） 连续随机变量 密度函数：X~p(x)（不唯一） F(x)??p(t)dt ??xF(x)??p(xi) xi?xF(a)?F(a?0)且p(a?X?b)?F(b)?F(a) 点点计较 p(X?a)?0 即：F(a)?F(a?0) F(x)为连续函数，即：F(a)?F(a?0) F(x)为阶梯函数，?ke?3x例2.1.4 设X~p(x)???0解：(1) k?3；
x?0，求(1) 常数k；(2) F(x)? x?0?1?e?3x(2) F(x)???0x?0。 x?0?1?x?00?x?1，求F(x)? 其它?1?x?例2.1.5 设X~p(x)??1?x?0?0??2?x?x?1?22解：F(x)??2??x?x?1?22?1?x??1?1?x?0。
0?x?11?x例2.1.6 设X与Y同分布，X的密度为
?32?xp(x)??8??00?x?2其它
3，求常数a？ 4已知事件A?{X?a}和B?{Y?a}独立，且p(AUB)?解：因为p(A)?p(B)，且A、B独立，得
p(AUB)?p(A)?p(B)?p(AB)?2p(A)?[p(A)]2
31解得：p(A)? 42由此得0?a?2
再由p(AUB)?231a32因此?p(A)?p(X?a)??xdx?1?
a828从中解得a?34。
§2.2 随机变量的数学期望
§2.2.1 数学期望的概念
概率论讲义(茆诗松)
