数学各种公式及性质
1． 乘法与因式分解
①(a＋b)(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2ab＋b2；③(a＋b)(a2－ab＋b2)＝a3＋b3； ④(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab。 2． 幂的运算性质 ①a×a＝a⑥a-n＝
m
n
m+n
a＝a；②a÷
mnm-n
anan；③(a)＝a；④(ab)＝ab；⑤()＝n；
bbmn
mn
n
nn
1()-n＝()n；⑦a0＝1(a≠0)。 n，特别：a3． 二次根式 ①(
)2＝a(a≥0)；②
＝丨a丨；③
＝
×
；④
＝
(a＞0，b≥0)。
4． 三角不等式
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|（定理）；
加强条件：||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|也成立，这个不等式也可称为向量的三角不等式（其中a，b分别为向量a和向量b）
|a+b|≤|a|+|b|；|a-b|≤|a|+|b|；|a|≤b<=>-b≤a≤b ； |a-b|≥|a|-|b|； -|a|≤a≤|a|； 5． 某些数列前n项之和
1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2；1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 ；
2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1)； 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6； 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4； 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3； 6． 一元二次方程
对于方程：ax2＋bx＋c＝0：
?b?b2?4ac①求根公式是x＝，其中△＝b2－4ac叫做根的判别式。
2a当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时，方程有两个相等的实数根；
当△＜0时，方程没有实数根．注意：当△≥0时，方程有实数根。
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②若方程有两个实数根x1和x2，则二次三项式ax2＋bx＋c可分解为a(x－x1)(x－x2)。 ③以a和b为根的一元二次方程是x2－(a＋b)x＋ab＝0。 7． 一次函数
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标，称为截距)。 ①当k＞0时，y随x的增大而增大(直线从左向右上升)； ②当k＜0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降)；
③特别地：当b＝0时，y＝kx(k≠0)又叫做正比例函数(y与x成正比例)，图象必过原点。 8． 反比例函数
反比例函数y＝(k≠0)的图象叫做双曲线。
①当k＞0时，双曲线在一、三象限(在每一象限内，从左向右降)； ②当k＜0时，双曲线在二、四象限(在每一象限内，从左向右上升)。 9． 二次函数
（1）.定义：一般地，如果y?ax2?bx?c(a,b,c是常数，a?0)，那么y叫做x的二次函数。（2）.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点。
①a的符号决定抛物线的开口方向：当a?0时，开口向上；当a?0时，开口向下；
a相等，抛物线的开口大小、形状相同。
②平行于y轴（或重合）的直线记作x?h.特别地，y轴记作直线x?0。 （3）.几种特殊的二次函数的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y?ax2 x?0（y轴） （0,0） y?ax2?k 当a?0时 x?0（y轴） (0, k) y?a?x?h?2 开口向上 x?h (h,0) y?a?x?h?2?k 当a?0时 x?h (h,k) 开口向下 y?ax2?bx?c x??bb4ac?b22a (?2a，4a) （4）.求抛物线的顶点、对称轴的方法
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b4ac?b2b?4ac?b2?（?，） ①公式法：y?ax?bx?c?a?x???，∴顶点是，对称轴是
2a4a2a?4a?22直线x??b。 2a2 ②配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y?a?x?h??k的形式，得到顶点为
(h,k)，对称轴是直线x?h。
③运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点
是顶点。
(x2,y)（及y值相同） 若已知抛物线上两点(x1,y)、，则对称轴方程可以表示为：x?2y?ax?bx?c中，a,b,c的作用 （5）.抛物线
x1?x2 2 ①a决定开口方向及开口大小，这与y?ax2中的a完全一样。
②b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y?ax2?bx?c的对称轴是直线。
bbx??，故：①b?0时，对称轴为y轴；②?0（即a、b同号）时，对称轴在y轴
2aab左侧；③?0（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧。
a ③c的大小决定抛物线y?ax2?bx?c与y轴交点的位置。
当x?0时，y?c，∴抛物线y?ax2?bx?c与y轴有且只有一个交点（0，c）： ①c?0，抛物线经过原点; ②c?0,与y轴交于正半轴；③c?0,与y轴交于负半轴.
b 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则 ?0。
a（6）.用待定系数法求二次函数的解析式
①一般式：y?ax2?bx?c.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. ②顶点式：y?a?x?h??k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式。
2 ③交点式：已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式：y?a?x?x1??x?x2?。 （7）.直线与抛物线的交点
①y轴与抛物线y?ax2?bx?c得交点为(0, c)。 ②抛物线与x轴的交点。
二次函数y?ax2?bx?c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元二次方程
ax2?bx?c?0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别
式判定：
a有两个交点?(??0)?抛物线与x轴相交；
b有一个交点（顶点在x轴上）?(??0)?抛物线与x轴相切； c没有交点?(??0)?抛物线与x轴相离。 ③平行于x轴的直线与抛物线的交点
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