技能演练
来源中国教育出版网基 础 强 化
1．函数y＝cosnx的复合过程正确的是( ) A．y＝un，u＝cosxn B．y＝t，t＝cosnx C．y＝tn，t＝cosx D．y＝cost，t＝xn 答案 C
2．y＝ex2－1的导数是( ) A．y′＝(x－1)e
22
x2
－1
B．y′＝2xeD．y′＝e
x2
－1
x
2
－1
C．y′＝(x－1)e 解析 y′＝e答案 B
3．下列函数在x＝0处没有切线的是( ) A．y＝3x2＋cosx 1
C．y＝＋2x
x
x2
－1
xx
2
－1
(x－1)′＝e
2
·2x.
B．y＝xsinx 1
D．y＝
cosx
11
解析 因为y＝＋2x在x＝0处没定义，所以y＝＋2x在x＝0处没有切线．
xx答案 C
4．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是( ) A．2x－y＋3＝0 C．2x－y＋1＝0
解析 设切点为(x0，x20)，则斜率k＝2x0＝2， ∴x0＝1，∴切点为(1,1)．
故切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0. 答案 D
5．y＝loga(2x2－1)的导数是( ) 4x
A.2 ?2x－1?lna1C.2 ?2x－1?lna
4xB.2 2x－12x2－1D. lnaB．2x－y－3＝0 D．2x－y－1＝0
来源:zzstep.com]14x
解析 y′＝2(2x2－1)′＝2. ?2x－1?lna?2x－1?lna答案 A
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6．已知函数f(x)＝ax2－1，且f′(1)＝2，则a的值为( ) A．a＝1 C．a＝2
11
解析 f′(x)＝(ax2－1)－·(ax2－1)′
22＝＝
1
·2ax
2ax2－1ax
. ax2－1
B．a＝2 D．a>0
由f′(1)＝2， 得
a
＝2，∴a＝2. a－1
答案 B
7．曲线y＝sin2x在点M(π，0)处的切线方程是________． 解析 y′＝(sin2x)′＝cos2x·(2x)′＝2cos2x，
来源:zzstep.com]∴k＝y′|x＝π＝2.
又过点(π，0)，所以切线方程为y＝2(x－π)． 答案 y＝2(x－π)
f′?x?8．f(x)＝e2x－2x，则x＝________.
e－1
解析 f′(x)＝(e2x)′－(2x)′＝2e2x－2＝2(e2x－1)． f′?x?2?e2x－1?∴x＝x＝2(ex＋1)． e－1e－1答案 2(ex＋1)
能 力 提 升
9．已知函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，且在点P处有相同的切线．求实数a，b，c的值．
解 ∵函数f(x)＝2x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图像都过点P(2,0)，
?2×23＋2a＝0，?∴?得a＝－8,4b＋c＝0， 2
?b×2＋c＝0，?
∴f(x)＝2x3－8x，f′(x)＝6x2－8. 又当x＝2时，f′(2)＝16，g′(2)＝4b， ∴4b＝16，∴b＝4，c＝－16. ∴a＝－8，b＝4，c＝－16.
1
10．已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2＋a(a为常数)，直线l与函数f(x)、g(x)的图像都相切，
2
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且l与函数f(x)图像的切点的横坐标为1，求直线的方程及a的值．
1
解 ∵f(x)＝lnx，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝1，
x即直线l的斜率为1，切点为(1,0)． ∴直线l的方程为y＝x－1.
y＝x－1，??1
又l与g(x)的图像也相切，等价于方程组?1只有一解，即方程x2－x＋1＋a
??y＝x22＋a2
＝0有两个相等的实根，来源中教网
∴Δ＝1－4×12(1＋a)＝0，∴a＝－1
2
. 品 味 高 考
11．曲线y＝e
－2x
＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( A.11
3 B．－2 C.2
3
D．1 解析 ∵y′＝(－2x)′e
－2x
＝－2e
－2x
，
∴k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2， ∴切线方程为y－2＝－2(x－0)， 即y＝－2x＋2.
如图，由???y＝－2x＋2，?得交点坐标为(2，2
?y＝x，
33)，
y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)， ∴所求面积为S＝12×1×21
3＝3.
答案 A
12．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则( )
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)
A．a＝1，b＝1 C．a＝1，b＝－1
解析 ∵y＝x2＋ax＋b，∴y′＝2x＋a. ∵在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0， ∴f′(0)＝a＝1.
来源中国教育出版网zzstep.com]B．a＝－1，b＝1 D．a＝－1，b＝－1
又0－b＋1＝0，∴b＝1. 答案 A
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复合函数的导数练习题
