百度文库 - 让每个人平等地提升自我
前四项的和作为近似值? 其误差为
|r4|?1所以
1?1? ?28?9?4!900002? 例9 计算积分
?12e?x2dx?01(1?1?1?1)?0.5295? 2462?32?5?2!2?7?3!?0.5?的近似值? 要求误差不超过10?
解 因为
?401dx 41?x1?1?x?x2?x3??(?1)nxn??? 1?x所以
14812n4n?1?x?x?x? ? ?(?1)x? ? 41?x对上式逐项积分得
?0.500.51dx=?[1?x4?x8?x12???(?1)nx4n??]dx 401?x??1519113(?1)n4n?1x???x??? ??x?x?x?59134n?1??0111(?1)n5913(0.5)???(0.5)4n?1??. ?0.5?(0.5)?(0.5)?59134n?1上面级数为交错级数，所以误差rn?0.51(0.5)4n?1，经试算 4n?1111?(0.5)5?0.00625，?(0.5)9?0.00022，(0.5)13?0.000009.
1359所以取前三项计算，即
?0.501dx?0.50000-0.00625?0.00022?0.49397?0.4940. 1?x4
4.2.2 欧拉公式
设有复数项级数为
(u1?iv1)?(u2?iv2)???(un?ivn)??, （7-4-1）
其中un,vn (n?1,2,3,?)为实常数或实函数.如果实部所成的级数
u1?u2???un?? （7-4-2）
26
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
收敛于和u，并且虚部所成的级数
v1?v2???vn?? （7-4-3）
收敛于和v，就说级数（1）收敛且其和为u?iv.
如果级数（7-4-1）各项的模所构成的级数
u1?v1?u2?v2???un?vn??
收敛，则称级数（7-4-1）绝对收敛.如果级数（1）绝对收敛，由于
222222un?un?vn,vn?un?vn,(n?1,2,?),
那么级数（7-4-2），（7-4-3）绝对收敛，从而级数（7-4-1）收敛.
考察复数项级数
22221?z?121z???zn?? (z?x?iy) （7-4-4） 2!n!可以证明级数（7-4-4）在整个复平面上是绝对收敛的.在x轴上(z?x)它表示指数函数
ex，在整个复平面上我们用它来定义复变量指数函数，记作ez，于是ez定义为
ez?1?z?121z???zn?? (z??) （7-4-5） 2!n!当x?0时，z为纯虚数iy，（7-4-5）式成为
111(iy)2?(iy)3???(iy)n?? 2!3!n!12131415 ?1?iy?y?iy?y?iy??
2!3!4!5!12141315 ?(1?y?y??)?i(y?y?y??)?cosy?isiny
2!4!3!5!把y换写为x，上式变为
eiy?1?iy? e?cosx?isinx （7-4-6）
这就是欧拉公式. 应用公式（7-4-6），复数z可以表示为指数形式：
z??(cos??isin?)??e, （7-4-7）
其中??z是z的模，??argz是z的辐角
在（7-4-6）式中把x换成?x，又有
i?ixe?ix?cosx?isinx
与（7-4-6）相加、相减，得
27
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
?eixcosx??? ?ixe?sinx????e?ix2 （7-4-8） ?e?ix2i这两个式子也叫做欧拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函数与复变量指数函数之间的一种联系.
最后，根据定义式（7-4-5），并利用幂级数的乘法，我们不难验证
ez1?z2?ez1ez2.
特殊地，取z1为实数x，z2为纯虚数iy，则有
ex?iy?exeiy?ex(cosy?isiny).
这就是说，复变量指数函数e在z?x?iy处的值是模为e、辐角为y的复数.
zx
习题7-4
1.将下列函数展开成x的幂级数，并求展开式成立的区间：
x （1）y?a (a?0,a?1); （2）y?1; 2(1?x)（3）y?sin（5）y?x; （4）y?ln(2?x); 311?x2; （6）y?(1?x)ln(1?x).
2.将函数f(x)?lnx展开成(x?1)的幂级数.
1展开成(x?3)的幂级数. x4.利用函数的幂级数展开式求ln3的近似值（误差不超过0.0001）
3.将函数f(x)?5.利用欧拉公式将函数ecosx展开成x的幂级数.
x
28
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
第5节 傅里叶级数
5.1三角级数 三角函数系的正交性
正弦函数是一种常见而简单的周期函数.例如描述简谐振动的函数
y?Asin(wt??),
就是一个以
2?角频率，?为初相.
在实际问题中，除了正弦函数外，还会遇到非正弦函数的周期函数，它们反应了较复杂的周期运动.如电子技术中常用的周期为T的矩形波,就是一个非正弦周期函数的例子.
为了深入研究非正弦周期函数，联系到前面介绍过的用函数的幂级数展开式表示和讨论函数,我们也想将周期为T的周期函数用一系列以T为周期的正弦函数Ansin(n?t??n)组成的级数来表示，记为
f(t)?A0??为周期的正弦函数，其中y表示动点的位置，t表示时间，A为振幅，?为
?An?1?nsin(n?t??n) （7-5-1）
其中 A0,An,?n(n?1,2,3,?)都是常数.
将周期函数按上述方式展开，它的物理意义是很明确的，这就是把一个比较复杂的周期运动看作是许多不同频率的简谐振动的叠加.在电工学上，这种展开称为是谐波分析.其中常数项A0称为是f(t)的直流分量；A1sin(?t??1)称为一次谐波；而
A2sin(?t??2),A3sin(?t??3),?
依次称为是二次谐波，三次谐波，等等.
为了以后讨论方便起见，我们将正弦函数Ansin(n?t??n)按三角公式变形，得
Ansin(n?t??n)=Ansin?ncosn?t+Ancos?nsinn?t，
并且令
a0??A0，an?Ansin?n，bn?Ancos?n，??，则（1）式右端的级数就可2l以改写为
a0?n?tn?t??(ancos?bnsin) （7-5-2）
2n?1ll形如（7-5-2）式的级数叫做三角级数，其中a0,an,bn(n?1,2,3,?)都是常数. 令
?tl?x,（7-5-2）式成为
29
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
?a0??(ancosnx?bnsinnx), （7-5-3）
2n?1这就把以2l为周期的三角级数转换为以2?为周期的三角级数.
下面讨论以2?为周期的三角级数（7-5-3）.我们首先介绍三角函数系的正交性. 三角函数系?
1,cosx,sinx,cos2x,sin2x,?,cosnx,sinnx,? （7-5-4）
在区间[??,?]上正交，就是指在三角函数系（7-5-4）中任何不同的两个函数的乘积在区间[??,?]上的积分等于零，即
???cosnxdx?0 (n?1,2,?)? ???sinnxdx?0 (n?1,2,?)? ???sinkxcosnxdx?0 (k,n?1,2,?)? ???sinkxsinnxdx?0 (k,n?1,2,?,k?n)? ???coskxcosnxdx?0 (k,n?1,2,?,k?n)? ???12dx?2??
???cos2nxdx?? (n?1,2,?)?
???????三角函数系中任何两个相同的函数的乘积在区间[??,?]上的积分不等于零? 即
????sin2nxdx?? (n?1,2,?)?
5.2 函数展开成傅里叶级数
设f(x)是周期为2?的周期函数? 且能展开成三角级数?
a0? f(x)???(akcoskx?bksinkx)? （7-5-5）
2k?1那么系数a0,a1,b1,?与函数f(x)之间存在着怎样的关系? 假定三角级数可逐项积分? 则
???30
????a0f(x)cosnxdx??cosnxdx??[ak?coskxcosnxdx?bk?sinkxcosnxdx]=an?
??2????k?1?
同济大学(高等数学)第四篇无穷级数
