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f??(x0)f(n)(x0)2 f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)? ? ? ? ?(x?x0)n? ? ? ? ? 2!n!又设sn?1(x)是f(x)的泰勒级数的前n?1项的和?则在U(x0)内
sn?1(x)?f(x)(n??)?
而f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)，于是
Rn(x)?f(x)?sn?1(x)?0(n??)?
再证充分性? 设Rn(x)?0(n??)对一切x?U(x0)成立?
因为f(x)的n阶泰勒公式可写成f(x)?sn?1(x)?Rn(x)? 于是
sn?1(x)?f(x)?Rn(x)?f(x)，
即f(x)的泰勒级数在U(x0)内收敛? 并且收敛于f(x)?
在泰勒级数中取x0?0? 得
f??(0)2f(n)(0)nf(0)?f?(0)x?x? ? ? ? ?x? ? ? ??
2!n!此级数称为f(x)的麦克劳林级数?
要把函数f(x)展开成x的幂级数，可以按照下列步骤进行： 第一步 求出f(x)的各阶导数? f?(x),f??(x),f???(x),?,f第二步 求函数及其各阶导数在x0?0处的值?
(n)(x),??
f?(0),f??(0),f???(0),?,f(n)(0),? ?
第三步 写出幂级数
f??(0)2f(n)(0)nf(0)?f?(0)x?x? ? ? ? ?x? ? ? ? ?
2!n!并求出收敛半径R?
第四步 考察在区间((?R,R)内时是否Rn(x)?0(n??)?
f(n?1)(?)n?1limRn(x)?limx n??n??(n?1)!是否为零? 如果Rn(x)?0(n??)? 则f(x)在(?R,R)内有展开式
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f??(0)2f(n)(0)nf(x)?f(0)?f?(0)x?x? ? ?x? ?(?R?x?R)?
2!n!例1 试将函数f(x)?e展开成x的幂级数? 解 所给函数的各阶导数为f得到幂级数
(n)x(x)?ex(n?1,2,?)? 因此f(n)(0)?1(n?1,2,?)?
1?x?1x2? ? ? ? 1xn? ? ? ?? 2!n!该幂级数的收敛半径R????
由于对于任何有限的数x,?(?介于0与x之间)? 有
n?1e?n?1|x||x|? |Rn(x)| ?x?e?(n?1)!(n?1)!|x|n?1?0? 所以 lim|Rn(x)|?0? 从而有展开式 而 limn??(n?1)!n??ex?1?x?121x? ? ? ? xn? ? ? ? (???x???)? 2!n!例2 将函数f(x)?sinx展开成x的幂级数?
(n) 解 因为f(n) ???(x)?sin?x?n??(n?1,2,?)?
2??所以f(0)顺序循环地取0,1,0,?1,?(n?0,1,2,3,?)? 于是得级数
352n?1xxn?1xx??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ?? 3!5!(2n?1)!它的收敛半径为R????
对于任何有限的数x,?(?介于0与x之间)? 有
(n?1)??sin???2?|Rn(x)| ?(n?1)!因此得展开式
??n?1?xn?1?|x|?0 n???
(n?1)!x3x5sinx?x??? 3!5!m?(?1)n?1x2n?1?(2n?1)! (???x???).
例3 将函数f(x)?(1?x)展开成x的幂级数? 其中m为任意常数? 22
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解 f(x)的各阶导数为
f?(x)?m(1?x)m?1
f??(x)?m(m?1)(1?x)m?2,
?f(n)(x)?m(m?1)(m?2)?(m?n?1)(1?x)m?n,
?所以
f(0)?1,f?(0)?m,f??(0)?m(m?1),?,f(n)(0)?m(m?1)(m?2)?(m?n?1),?
且Rn(x)?0 于是得幂级数
1?mx?m(m?1)2m(m?1) ? ? ? (m?n?1)nx? ? ?x??? 2!n!以上例题是直接按照公式计算幂级数的系数，最后考察余项是否趋于零.这种直接展开
的方法计算量较大，而且研究余项即使在初等函数中也不是一件容易的事.下面介绍间接展开的方法，也就是利用一些已知的函数展开式，通过幂级数的运算以及变量代换等，将所给函数展开成幂级数.这样做不但计算简单，而且可以避免研究余项.
例4 将函数f(x)?cosx展开成x的幂级数? 解 已知
x3x5x2n?1n?1sinx?x??? ??(?1)? ? (???x???)?
3!5!(2n?1)!对上式两边求导得
2nx2x4nxcosx?1??? ??(?1)? ? (???x???)? 2!4!(2n)!例5 将函数f(x)?ln(1?x)展开成x的幂级数?
解 因为f?(x)?1? 而1是收敛的等比级数?(?1)nxn(?1?x?1)的和函数?
?1?x1?xn?01?1?x?x2?x3? ? ? ? ?(?1)nxn? ? ? ? ?
1?x所以将上式从0到x逐项积分? 得
xxf(x)?ln(1?x)??0[ln(1?x)]?dx??01dx
1?xn?1x ??0[?(?1)x]dx??(?1) (?1?x?1)? n?1n?0n?0nnnx??23
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上述展开式对x?1也成立? 这是因为上式右端的幂级数当x?1时收敛? 而ln(1?x)在x?1处有定义且连续? 常用展开式小结?
1?1?x?x2? ? ? ? ?xn? ? ? ? (?1?x?1)? 1?x121nx e?1?x?x? ? ? ? x? ? ? ? (???x???)?
2!n!
x3x5x2n?1n?1?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (???x???)? sinx?x?3!5!(2n?1)!2nx2x4nx?? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (???x???)? cosx?1?2!4!(2n)!n?1x2x3x4nx??? ? ? ? ?(?1)? ? ? ? (?1?x?1)? ln(1?x)?x?234n?1
(1?x)m?1?mx?m(m?1) ? ? ? (m?n?1)nm(m?1)2x? ? ? ? (?1?x?1) x? ? ? ? ?2!n!
4.2 幂级数的展开式的应用
4.2.1 近似计算
有了函数的幂级数展开式，就可以用它进行近似计算，在展开式有意义的区间内，函数值可以利用这个级数近似的按要求计算出来.
?4例6 计算5245的近似值(误差不超过10)?
解 因为5245?即
5535?2?3(1?21/51? x?2?
? 所以在二项展开式中取)m?53535121112245?3[1??5??(?1)(5)2? ? ? ? ].?
532!553这个级数从第二项起是交错级数， 如果取前n项和作为5245的近似值? 则其误差(也叫做截断误差)rn?un?1,可算得
4?228?4|u2|?3???10, 21092?5?325?3 为了使误差不超过10? 只要取其前两项作为其近似值即可? 于是有
?424
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512245?3(1??)?3.0049.?
5243例7 利用sinx?x?1x3 求sin9?的近似值? 并估计误差? 3!9????9(弧度)??(弧度)?
20180解 首先把角度化成弧度?
从而
3??1? ? sin??20203!20??5其次? 估计这个近似值的精确度? 在sinx的幂级数展开式中令x?3720?? 得
??1???1???sin????1?????????? ? ? ? ?
20203!?20?5!?20?7!?20?等式右端是一个收敛的交错级数? 且各项的绝对值单调减少? 取它的前两项之和作为sin的近似值? 起误差为
?20??1?(0.2)5?1|r2|?1?? ???5!?20?120300000因此取
3520???0.157080? ????0.003876.
???20??5于是得 sin9?0.15643，这时误差不超过10? 例8 计算定积分
2?的近似值? 要求误差不超过10（取
x?4?12e?x2dx 01?0.56419）?
? 解 将e的幂级数展开式中的x换成?x? 得到被积函数的幂级数展开式
2e?x22n?(?x2)(?x2)2(?x2)3nx (???x???). ?1???? ?? ??(?1)n!1!2!3!n?0于是? 根据幂级数在收敛区间内逐项可积? 得
2??12e?x2dx?02?1??(1?1?2[(?1)n0n?0x2n]dx?2n!?(?1)n12x2ndx
??0n?0n!? ?25
?111??? ?). 22?324?5?2!26?7?3!
同济大学(高等数学)第四篇无穷级数
