百度文库 - 让每个人平等地提升自我
则必有一个完全确定的正数R存在? 使得 当x?R时? 幂级数绝对收敛? 当x?R时? 幂级数发散?
当x?R与x??R时? 幂级数可能收敛也可能发散? 正数R通常叫做幂级数
?an?0?nxax的收敛半径? 开区间叫做幂级数的(?R,R)?nnnn?0?收敛区间? 再由幂级数在x??R处的收敛性就可以决定它的收敛域? 幂级数
?an?0?nxn的收
敛域是(?R,R)或[?R,R)、(?R,R]、[?R,R]之一?
若幂级数
?an?0?nx只在x?0收敛? 则规定收敛半径R?0 ? 若幂级数?anxn对一
nn?0?切x都收敛? 则规定收敛半径R???? 这时收敛域为(??,??)?
?an?1|??? 其中an、an?1是幂级数?anxn的相邻两项的系数? 则这定理2 如果lim|n??ann?0幂级数的收敛半径
? ?? ??0??R??1 ??0?
????0 ????证明
an?1xn?1an?1lim||?lim||?|x| ??|x|? n??n??ananxn (1) 如果0?????, 则只当?x?1时幂级数收敛? 故R? (2) 如果??0? 则幂级数总是收敛的? 故R????
(3) 如果????? 则只当x?0时幂级数收敛? 故R?0?
?1?
xn例1 求幂级数 ?2 的收敛半径与收敛域?
n?1n?解 因为
an?1n2??lim?lim?1?
n??an??(n?1)2n16
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
所以收敛半径为R??1?1? 即收敛区间为(?1,1).
??1(?1)n1xn 当x??1时? 有?2，由于级数?2收敛，所以 级数?2在x??1时也2nnn?1nn?1n收敛.因此? 收敛域为[?1,1]?
例2 求幂级数
1nx=1?x?1x2?1x3? ? ? ? ?1xn? ? ? ? ?2!3!n!n?0n!的收敛域?
解 因为
?1a(n?1)!?? lim|n?1| ? lim ? limn!?0?
n??ann??n??(n?1)!1n!所以收敛半径为R???? 从而收敛域为(??,??)?
nn!x?的收敛半径? n?0? 例3 求幂级数 解 因为
?? lim|n??an?1(n?1)!| ? lim???? n??ann!所以收敛半径为R?0? 即级数仅在x?0处收敛? 例4 求幂级数
(2n)!2nx的收敛半径? ?2n?0(n!)? 解 级数缺少奇次幂的项? 定理2不能应用? 可根据比值审敛法来求收敛半径?
幂级数的一般项记为un(x)?(2n)!2nx? 因为 (n!)2lim|un?1(x)| ?4|x|2? un(x)n??当4x?1即|x|?21时级数收敛? 当4x2?1即|x|?1时级数发散? 所以收敛半径为22R?1?
2 17
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
3.3 幂级数的运算 设幂级数
n?0?anx?n及
n?0?bnxn分别在区间(?R,R)及(?R?,R?)内收敛? 则在(?R,R)与
?(?R?,R?)中较小的区间内有
加法? ?anxn??bnxn??(an?bn)xn.
n?0?n?0?n?0????减法?
n?0??anxn??bnx??(an?bn)xn.
n?0n?0?n2乘法? (?anx)?(?bnxn)?a0b0?(a0b1?a1b0)x?(a0b2?a1b1?a2b0)x??
nn?0n?0n ?(a0bn?a1bn?1???anb0)x??.
a0?a1x?a2x2???anxn??除法: ?c0?c1x?c2x2???cnxn??. 2nb0?b1x?b2x???bnx??关于幂级数的和函数有下列重要性质：
性质1 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛域I上连续?
n?0??性质2 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛域I上可积? 并且有逐项积分公式
n?0?0s(x)dx??0(?anx)dx???0anxdx??n?0n?0xx?n?xnann?1x(x?I)?
n?0n?1?逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?
性质3 幂级数?anxn的和函数s(x)在其收敛区间(?R,R)内可导? 并且有逐项求导公
n?0?式
s?(x)?(?anxn)???(anxn)???nanxn?1 (x?R)?
n?0n?0n?1???逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径?
例6 求幂级数?1xn的和函数?
n?1n?0?解 求得幂级数的收敛域为[?1,1)? 设和函数为s(x)? 即
s(x)??1xn? x?[?1,1)?
n?0n?118
?百度文库 - 让每个人平等地提升自我
显然s(0)?1? 在xs(x)??1xn?1的两边求导得： n?0n?1????11???xs(x)?????xn?1???xn??
n?11?x?n?0n?0?对上式从0到x积分? 得
xxs(x)??01dx??ln(1?x)?
1?x1于是? 当x?0时? 有s(x)??ln(1?x)? 从而 x?1??ln(1?x) x??-1,0???0,1?,? s(x)??x? 1 x?0,? 提示? 应用公式?F?(x)dx?F(x)?F(0)? 即F(x)?F(0)??F?(x)dx?
00xx1?1?x?x2?x3? ? ?xn? ?? 1?x 习题7-3
1．求下列幂级数的收敛区间
(?1)nn （1）?nx ； （2）?x；
nn?1n?1?n?2n?1?(x?2)nnx （3）?； （4）?(?1)； nn?22n?1n?1n?1??(x?5)n2n （5）?； （6）?2xn；
nn?1n?1n?1??(x?5)n2nn （7）?. (x?1)； （8）?nnn?1n?1?2. 利用逐项求导法或逐项积分法，求下列级数的和函数 （1）
?2nxn?1?2n?1x2n?1 x?1; （2）?.
n?12n?1?
19
百度文库 - 让每个人平等地提升自我
第4节 函数展开成幂级数
4.1函数展开成幂级数
给定函数f(x)? 要考虑它是否能在某个区间内“展开成幂级数”? 就是说? 是否能找到这样一个幂级数? 它在某区间内收敛? 且其和恰好就是给定的函数f(x)? 如果能找到这样的幂级数? 我们就说?函数f(x)能展开成幂级数? 而该级数在收敛区间内就表达了函数
f(x)?
如果f(x)在点x0的某邻域内具有各阶导数
f?(x),f??(x),? f则当n??时? f(x)在点x0的泰勒多项式
(n)(x),?，
f??(x0)f(n)(x0)2pn(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)? ? ? ? ?(x?x0)n
2!n!成为幂级数
f??(x0)f(n)(x0)2(x?x0)n? ? ? ? f(x0)?f?(x0)(x?x0)?(x?x0)? ? ? ? ?n!2!这一幂级数称为函数f(x)的泰勒级数?
显然? 当x?x0时?f(x)的泰勒级数收敛于f(x0)?
需要解决的问题? 除了x?x0外? f(x)的泰勒级数是否收敛? 如果收敛? 它是否一定收敛于f(x)?
定理 设函数f(x)在点x0的某一邻域U(x0)内具有各阶导数? 则f(x)在该邻域内能展开成泰勒级数的充分必要条件是f(x)的泰勒公式中的余项Rn(x)当n??时的极限为零? 即
limRn(x)?0 (x?U(x0))?
n?? 证明 先证必要性? 设f(x)在U(x0)内能展开为泰勒级数? 即
20
同济大学(高等数学)第四篇无穷级数
