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第2节 常数项级数的收敛法则
2.1 正项级数及其收敛法则
现在我们讨论各项都是正数或零的级数，这种级数称为正项级数. 设级数
u1?u2?u3???un?? （7-2-1）
是一个正项级数，它的部分和为sn.显然，数列?sn?是一个单调增加数列，即：
s1?s2???sn??
如果数列?sn?有界，即sn总不大于某一常数M，根据单调有界的数列必有极限的准则，级数（7-2-1）必收敛于和s，且sn?s?M. 反之，如果正项级数（7-2-1）收敛于和s.根据有极限的数列是有界数列的性质可知，数列?sn?有界. 因此，有如下重要结论：
定理 1 正项级数?un收敛的充分必要条件是它的部分和数列{sn}有界?
n?1???定理2 (比较审敛法) 设?un和?vn都是正项级数? 且un?vn (n?1,2,?)? 若级数
n?1n?1????n?1?vn收敛? 则级数?un收敛? 反之? 若级数?un发散? 则级数?vn发散?
n?1?n?1?n?1证明 设级数?vn收敛于和?? 则级数?un的部分和
n?1n?1sn?u1?u2?u3???un?v1?v2??vn??即部分和数列?sn?有界? 由定理1知级数?un收敛?
n?1???(n?1,2,?)
反之? 设级数?un发散? 则级数?vn必发散? 因为若级数?vn收敛? 由上已证明的
n?1n?1n?1??结论? 将有级数?un也收敛? 与假设矛盾?
n?1???推论 设?un和?vn都是正项级数? 如果级数?vn收敛? 且存在自然数N? 使当
n?1n?1n?16
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n?N时有un?kvn(k?0)成立? 则级数?un收敛? 如果级数?vn发散? 且当n?N时
n?1n?1???有un?kvn(k?0)成立? 则级数?un发散?
n?1例1 讨论p?级数
?np?1?2p?3p?4p? ? ? ? ?np? ? ? ? n?1的收敛性? 其中常数p?0?
?111 解 设p?1? 这时p?? 而调和级数?发散? 由比较审敛法知? 当p?1时级数
nnn?1n?11111?pn?1n
?
1发散?
设p?1? 此时有
nn1111?11???(n?2,3,?)? ?dx?dx??pppp?1p?1????n?1n?1nnxp?1?(n?1)n?对于级数
?11?????(n?1)p?1np?1??? 其部分和 n?2????1?1??11?11??? sn??1?p?1???p?1?p?1?? ? ? ? ????1?p?1?np?1(n?1)p?1?223(n?1)??????????11?1??收敛? 从而根据比较?因为limsn?lim?? 所以级数?1??1?p?1p?1?p?1??n??n???n?n?2?(n?1)?(n?1)?审敛法的推论1可知? 级数?
??
n?1
1当p?1时收敛?
np
综上所述? p?级数??1当p?1时收敛? 当p?1时发散? pn?1n例2 证明级数?n?11是发散的? n(n?1)?1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是发散111??证明 因为? 而级数?n?1n(n?1)(n?1)2n?1n?1n?1237
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的? 根据比较审敛法可知所给级数也是发散的?
定理3 （比较审敛法的极限形式)
?un?l(0?l???)? 则级数?un和级数 设?un和?vn都是正项级数? 如果limn??vn?1n?1n?1n???n?1?vn同时收敛或同时发散?
12 证明 由极限的定义可知? 对??l? 存在自然数N? 当n?N时? 有不等式
ul?1l?n?l?1l? 2vn2即lvn?un?lvn.
再根据比较审敛法的推论1? 即得所要证的结论?
例3 判别级数?sinn?1?12321的收敛性? nsin1??1n 解 因为 lim?1? 而级数?发散? 根据比较审敛法的极限形式? 级数?sin1nn??1n?1nn?1n发散?
用比较审敛法审敛时，需要适当地选取一个已知其收敛性的级数最常选用做基准级数的是等比级数和p?级数.
定理4 (比值审敛法? 达朗贝尔判别法) 若正项级数?un的后项与前项之比值的极限等
n?1???vn?1n作为比较的基准.
于?，即
un?1???
n??unlim则当??1时级数收敛?当??1 (或lim可能发散?
例4 判别级数解 因为
un?1??)时级数发散? 当??1时级数可能收敛也
n??un1收敛性? ?n!n?1?8
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limn??un?1un11(n?1)!? lim? lim?0?1? n??n??n?11n!根据比值审敛法可知，所给级数收敛? 例5 判别级数解 因为
n!的收敛性? ?n3n?1? limn??un?1un(n?1)!n?1n?13? lim? lim???,?
n??n??n!33n根据比值审敛法可知,所给级数发散? 定理5 (根值审敛法? 柯西判别法)
设?un是正项级数? 如果它的一般项un的n次根的极限等于?，即
n?1?n??limnun???
n则当??1时级数收敛? 当??1 (或lim也可能发散?
n??un???)时级数发散? 当??1时级数可能收敛
定理6（极限审敛法）设?un为正项级数，
n?1?? （1）如果limnun?l?0（或limnun???），则级数?un发散；
n??n??n?1 （2）如果p?1，而limnun?l（0?l???），则级数?un收敛.
n??p?n?1?11证明 （1）在极限形式的比较审敛法中，取vn?，由调和级数?发散，知结论成
nn?1n立.
?11 （2）在极限形式的比较审敛法中，取vn?p，当p?1时，p?级数?p收敛，
nn?1n故结论成立.
例6 判定级数
?ln(1?n?1?1)的收敛性. 2n9
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解 因ln(1?11)~(n???)，故 n2n2limn2un?limn2ln(1?n??n??112)?limn??1， 22n??nn根据极限审敛法，知所给级数收敛.
2.2 交错级数及其审敛法则
下列形式的级数
u1?u2?u3?u4?,
称为交错级数. 交错级数的一般形式为
?(?1)n?1??n?1un? 其中un?0?
定理7（莱布尼茨定理）如果交错级数
?(?1)n?1n?1un满足条件?
(1) un?un?1(n?1,2,3,(2) limun?0 ?
n??) ?
则级数收敛? 且其和s?u1? 其余项rn的绝对值rn?un?1?
证明 设前n项部分和为sn，由
s2n?(u1?u2)?(u3?u4)??(u2n?1?u2n),
及
s2n?u1?(u2?u3)?(u4?u5)??(u2n?2?u2n?1)?u2n，
看出数列?s2n?单调增加且有界(s2n?u1)? 所以收敛?
设s2n?s(n??)? 则也有s2n?1?s2n?u2n?1?s(n??)?所以sn?s(n??)，从而级数是收敛的? 且s?u1?
因为rn?un?1?un?2??|也是收敛的交错级数? 所以rn?un?1.
2.3 绝对收敛与条件收敛
对于一般的级数：
u1?u2???un??,
10
同济大学(高等数学)第四篇无穷级数
