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同济大学(高等数学)第四篇无穷级数

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第四篇 无穷级数

第七章 无穷级数

无穷级数是高等数学课程的重要内容,它以极限理论为基础,是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具. 本章首先讨论常数项级数,介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容,然后讨论函数项级数,着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题,最后介绍工程中常用的傅里叶级数.

第1节 常数项级数的概念与性质

1.1常数项级数的概念

一般的,给定一个数列

u1,u2,u3,?,un,?

则由这数列构成的表达式

u1?u2?u3???un??

叫做(常数项)无穷级数? 简称(常数项)级数? 记为?un? 即

n?1??n?1?un?u1?u2?u3? ? ? ? ?un? ? ? ? ?

其中第n项un叫做级数的一般项?

作级数?un的前n项和

n?1n?sn??ui?u1?u2?u3? ? ? ? ?un

i?1称为级数?un的部分和? 当n依次取1,2,3…时,它们构成一个新的数列

n?1?s1?u1,s2?u1?u2,s3?u1?u2?u3,…,

sn?u1?u2?...?un,…

根据这个数列有没有极限,我们引进无穷级数的收敛与发散的概念。

定义 如果级数?un的部分和数列{sn}有极限s? 即limsn?s? 则称无穷级数?unn?1??n??n?11

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收敛? 这时极限s叫做这级数的和? 并写成

s??un?u1?u2?u3? ??un? ??

n?1?如果{sn}没有极限? 则称无穷级数?un发散?

n?1?当级数?un收敛时? 其部分和sn是级数?un的和s的近似值? 它们之间的差值

n?1n?1??rn?s?sn?un?1?un?2?叫做级数?un的余项?

n?1?

例1 讨论等比级数(几何级数)?aqn(a?0)的敛散性?

n?0?解 如果q?1? 则部分和

sn?a?aq?aq? ? ? ? ?aq2n?1a?aqnaqna???? 1?q1?q1?q?aa?

当q?1时? 因为limsn?? 所以此时级数?aqn收敛? 其和为

1?q1?qn??n?0?当q?1时? 因为limsn??? 所以此时级数?aqn发散?

n??n?0? 如果q?1? 则当q?1时? sn?na?? ? 因此级数?aqn发散?

n?0?当q??1时? 级数?aqn成为

n?0a?a?a?a???

因为sn随着n为奇数或偶数而等于a或零? 所以sn的极限不存在? 从而这时级数

n?0?aqn发散?

?n??a 综上所述? 如果q?1? 则级数?aq收敛? 其和为? 如果q?1? 则级数?aqn1?qn?0n?02

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发散?

例2 判别无穷级数解 由于

1ln(1?)的收敛性? ?nn?1?1un?ln(1?)?ln(n?1)?lnn?

n因此

sn?(ln2?ln1)?(ln3?ln2)?(ln4?ln3)? ? ? ? ?(ln(n?1)?lnn)?ln(n?1),

而 limSn?? ,故该级数发散.

n??例3 判别无穷级数?解 因为

1的收敛性? n?1n(n?1)?un?所以

1?1?1, n(n?1)nn?1sn?1?1?1? ? ? ? ?1

1?22?33?4n(n?1) ?(1?)?(?)? ? ? ? ?(?从而

12112311)?1?1? nn?1n?1limsn?lim(1?1)?1? n?1n??n??所以这级数收敛? 它的和是1?

1.2 收敛级数的基本性质

根据无穷级数收敛、发散的概念,可以得到收敛级数的基本性质.

性质1如果级数?un收敛于和s? 则它的各项同乘以一个常数k所得的级数?kun也

n?1n?1??收敛? 且其和为ks?

证明 设?un与?kun的部分和分别为sn与?n? 则

n?1n?1??n???lim?n?lim(ku1?ku2? ? ? ? kun)?klim(u1?u2? ? ? ? un)?klimsn?ks,

n??n??n??这表明级数?kun收敛? 且和为ks?

n?13

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性质2 如果级数?un、?vn分别收敛于和s、?? 则级数?(un?vn)也收敛? 且其和

n?1n?1???n?1为s???

证明 如果?un、?vn、?(un?vn)的部分和分别为sn、?n、?n, 则

n?1n?1???n?1n??lim?n?lim[(u1?v1)?(u2?v2)? ? ? ? ?(un?vn)]

n??n?? ?lim[(u1?u2? ? ? ? ?un)?(v1?v2? ? ? ? ?vn)]

?lim(sn??n)?s???

n?? 性质3 在级数中去掉、加上或改变有限项? 不会改变级数的收敛性?

1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 是收敛的; 1?22?33?4n(n?1)1?1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 也是收敛的;

级数10000?1?22?33?4n(n?1)1?1? ? ? ? ?1? ? ? ? 也是收敛的?

级数

3?44?5n(n?1) 比如? 级数

性质4 如果级数?un收敛? 则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛? 且其和

n?1?不变?

应注意的问题? 如果加括号后所成的级数收敛? 则不能断定去括号后原来的级数也收敛? 例如? 级数(1?1)+(1?1) +? ? ?收敛于零? 但级数1?1?1?1?? ? ?却是发散的?

推论 如果加括号后所成的级数发散? 则原来级数也发散? 性质5 如果?un收敛? 则它的一般项un趋于零? 即limun?0?

n?1?n?0证明 设级数?un的部分和为sn? 且limsn?s? 则

n?1?n??n?0limun?lim(sn?sn?1)?limsn?limsn?1?s?s?0?

n??n??n?? 注? 级数的一般项趋于零并不是级数收敛的充分条件?

例6 证明调和级数

n?1?n?1?2?3? ? ? ? ?n? ? ? ?

?1111是发散的?

证明 假若级数?1收敛且其和为s? s是它的部分和?

nn?1n?4

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显然有limsn?s及lims2n?s? 于是lim(s2n?sn)?0?

n??n??n?? 但另一方面?

s2n?sn?1?1? ? ? ? ?1?1?1? ? ? ? ?1?1?

n?1n?22n2n2n2n2故lim(s2n?sn)?0? 矛盾? 这矛盾说明级数?n??1必定发散?

n?1n? 习题7-1

1. 写出下列级数的前四项:

?n!(n?1)2?n? (1) ?n; (2)?(?1)?1??. nn?1n?1n?1???2. 写出下列级数的一般项(通项):

a2a3a4a5111?????; (1)?1????? ; (2)

3579248 (3)1?111????. 3573. 根据级数收敛性的定义,判断下列级数的敛散性: (1)

?2?n??1?ln1? ; (2)sin?sin???sin??. ???666?n?n?1??4. 判断下列级数的敛散性: (1)

?n?3 ; (2)3?6?9???3n??;

n?1?11111 (3)

5

nn (4)?2?2?2?2???(?1)2??. ?n?12n?1

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百度文库-让每个人平等地提升自我第四篇无穷级数第七章无穷级数无穷级数是高等数学课程的重要内容,它以极限理论为基础,是研究函数的性质及进行数值计算方面的重要工具.本章首先讨论常数项级数,介绍无穷级数的一些基本概念和基本内容,然后讨论函数项级数,着重讨论如何为将函数展开成幂级数和三角级数的问题,最后介
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