分析： 根据题意画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理求解． 解答： 解：如图所示，过D点作DE⊥AB，垂足为E ∵AB=13，CD=8
又∵BE=CD，DE=BC
∴AE=AB﹣BE=AB﹣CD=13﹣8=5 ∴在Rt△ADE中，DE=BC=12 ∴AD=AE+DE=12+5=144+25=169 ∴AD=13（负值舍去）
答：小鸟飞行的最短路程为13m．
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点评： 本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．
例7.如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是 25 ．
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 解答： 解：如图所示，
∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3， ∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，
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由勾股定理得：x=20+[（2+3）×3]=25， 解得：x=25． 故答案为25．
点评： 本题考查了平面展开﹣最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答．
例8.一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点，那么沿哪条路最近，最短的路程是多少？已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm．
考点： 平面展开-最短路径问题．
分析： 要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，然后利用两点之间线段最短解答．
解答： 解：如图：
根据题意，如上图所示，最短路径有以下三种情况：
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（1）沿AA′，A′C′，C′B′，B′B剪开，得图（1）AB′=AB+BB′=（2+1）+4=25；
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（2）沿AC，CC′，C′B′，B′D′，D′A′，A′A剪开，得图（2）AB′=AC+B′C=2+（4+1）=4+25=29；
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（3）沿AD，DD′，B′D′，C′B′，C′A′，AA′剪开，得图（3）AB′=AD+B′D=1+（4+2）=1+36=37；
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综上所述，最短路径应为（1）所示，所以AB′=25，即AB′=5cm．
点评： 此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关键，注意不要漏解．
例9.如图，Rt△ABC中，AC=5，BC=12，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分面积为 ．
解：由勾股定理AB=52?122=13，
根据题意得：S阴影=12π（1221）+22π（52）-[212π（1321）-22×5×12]=30． 例10.等腰直角△ABC中，BC=AC=1，以斜边AB和长度为1的边BB1为直角边构造直角△ABB1，如图，这样构造下去…，则AB3= ；ABn= ． 解：∵等腰直角△ABC中，BC=AC=1，∴AB=∵BB1=1，∠ABB1=90°，∴AB1=同理可得：AB2=2，AB3=2， 3， 5；AB、AB1、AB2、AB3的值可知ABn=n?2．
题型四：应用勾股定理逆定理，判定一个三角形是否是直角三角形
例11.已知三角形的三边长为a，b，c，判定?ABC是否为Rt? ①a?1.5，b?2，c?2.5 ②a?52，b?1，c? 43解：①?a2?b2?1.52?22?6.25，c2?2.52?6.25
??ABC是直角三角形且?C?90?
2513②?b2?c2?，a2?，b2?c2?a2??ABC不是直角三角形
169例12..三边长为a，b，c满足a?b?10，ab?18，c?8的三角形是什么形状？
解：此三角形是直角三角形
理由：?a2?b2?(a?b)2?2ab?64，且c2?64 ?a2?b2?c2 所以此三角形是直角三角形
题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用
例13.如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是 ．
AB、EF、GH．
解：设小正方形的边长为1，
则AB =2+2=8，CD =2+4=20，EF =1+2=5，GH =2+3=13．
因为AB +EF =GH ，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH．
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例14.已知?ABC中，AB?13cm，BC?10cm，BC边上的中线AD?12cm，求证：AB?AC
证明：
ABDC
?AD为中线，?BD?DC?5cm
在?ABD中，?AD2?BD2?169，AB2?169?AD2?BD2?AB2， ??ADB?90?，?AC2?AD2?DC2?169，AC?13cm，?AB?AC
例15.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=4，CD=6，DA=2．求∠DAB的度数．
解：连结AC，
∵∠B=90°，AB=BC=4，∴AC =32，∠DAB=∠DBA=45°， ∵32+2=6，∴AC +DA =CD ，∴△ACD是直角三角形，
∵∠DAC是CD所对的角，∴∠DAC=90°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°．
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人教版八年级下册数学-专题：第18章.勾股定理知识点与常见题型总结
