迎
排列 合与概率 一、
分 与分布
1. 分 （要么?要么?）：相加。 2. 分布（先?后?）：相乘。 二、
排列与 合
1. 排列：与 序有关。 2. 合：与 序无关。
3. 判断 准：从已 的主体中任意挑 出两个， 序。有差 ，与 序有关（ A）；无差 ，
与 序无关（ C）。
4. 相 捆 法
有必 相 的，先把相 的捆 起来，考 内部 序，捆 后在与其它排列。 5. 不相 插空法
先将可以相 的 行排列，排列后行程若干个空位。再将不相 的插入到行程的空位中去。 不相 ，拿 插空。 6. 枚 法
按照面 或数 的大小，从大到小列 枚 ，不漏不重。注意每种数 的个数不得超 条件 的上限。
概率
1. 情况求概率
公式：概率 = 足需求的情况数 / 全部的情况数。注：正 反， 足概率 =1- 不 足概率
2. 概率求概率
方法：
分 ： P（A）=P1+P2+?? .Pn
分布： P（A）=P1× P2×?? .Pn
容斥原理
1. 在 数 ，先不考 重复的部分，先把符合条件的加在一起，最后再把重复的剔
除、 漏的 上，做到“不重不漏”。
2. 型：两集合、三集合。
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3. 方法：公式法、画 法。 4. 容斥 在于找 型和方法。 5. 两集合。
a) A+B-A∩B= 数 - 都不 足。
b) 推 ：大框 数，圈 A 和圈 B，中 A∩ B， 圈外的 都不 足的，可以 数 - 都不 足
的 = 覆盖的面 =A+B-A∩B。
c) AUB：合集，两个集合共同覆盖的面 。 A∩B：交集，两个集合共有的面 。
6. 三集合： 准型。
a) 准型公式（ 了两两之 的交集）：全部 - 都不 =A+B+C（- A∩ B+B∩
C+A∩C） +A∩B∩C。 b) 推 ：全部 大框，都不 圈外的部分，三个 分 A、B、C，求
AUBUC。
先把符合的 A、B、C加在一起，即 A+B+C。
刨除重复的部分： A∩B、B∩C、A∩C 都加了 2 次，但是只要 1 次，因此需要减去 1 次。
A∩ B∩C：在 A+B+C中加了 3 次，只要 1 次；但是在减 A∩ B、 B∩ C、 A∩ C，把 A∩B∩C减了 3 次，需要再加上一个 A∩B∩C。
7. 三集合：非 准型。
a) 非 准型公式（ 的 两者 足、三者 足）：全部 - 都不 =A+B+C两-者 足 -2 ×三者
足。 b) 推 ：先把 A、 B、 C 加在一起，即 A+B+C。 足两种的每部分加了 2 次，要 1 次，
因此把两者 足的部分减去 1 次。 足三中的加了 3 次，要 1 次，因此减去 2 次。
8. 容斥 解体方法：
a) 公式法： 目当中，所 所求都是公式的一部分。 b) 画 法：公式法解决不了的， “只” 足。
画 ， 数字（从里往外 、每部分一 ），列算式（尾数法）
最
1. ： 目 法 “至少??才能保 ??”。
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2. 方法：保 数 =最不利数 +1。若要最不利就是要考 最倒霉的情况，考 最不利要
有思 的 度。
3. 引例：袋子中装有 5 个 球， 8 个白球， 10 个黄球。
a) 至少取出（）个，才能保 有 球： 8+10+1=19。
b) 至少取出（）个，才能保 至少有 2 个同色的球： 3+1=4。 c) 至少取出（）个，才能保 至少有
8 个同色的球： 5+7+7+1=20。 注意：如果拿 10 个球完成了 8 个同色， 只是一种可能出 的状况，但是不能保 一定完成，而如果拿 20 个球一定能保 完成 8 个同色球。
d) 最不利数（求保 数的关 点）：不 ，全 你。 ，少 一个气死你。构造数列（和定
例：有 100 人，其中高的 80 人，富的 70 人， 的 60 人， “高富 ”至少有多少人。 b) 反向构造（要有最 思想）：和一定是此消彼 的关系。即若求最多，其他尽
量少；若求最少，其它尽量多。 c) 加和求解。若 果不 整， 最多往小取， 最少往大取。
3. 都??至少：“都”表示交集，如三者都喜 ，三 都参加 ， 的是交集的最小 ，是
命 。 最 ）
1. ：和一定，求某个量的最多或最少。注： 干是否有各不相同，如果没有，默 相
同。 2. 方法（三步走）：
a) 定位：求最大 是最小。
高富 是三者都 足的“都。。。至少”即交集最小， 入公式： 80+7+60-2×100=10。
： Sn-（ n-1 ） M， Sn 高富 的和， n 代表 数， M是 体。原理：
a) 两集合公式： A+B-A∩B=全 - 都不，要求 A∩B 最小，移 得： A∩B=A+B-全+
都不，“ A、 B、全”是固定 ，要 A∩B 最小， “都不” =0，此 ： A∩B=A+B-全。
b) 三集合： A∩ B∩ C= A∩ B+C-全 =A+B-全+C-全=A+B+C-2全
四集合： A+B+C+D-3全
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