初中数学竞赛辅导资料（62）
绝对值
甲内容提要
1. 绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零.用式子表示如下：
?a(a?0)?a???a(a?0)
?0(a?0)?2. 初中阶段学习含绝对值符号的代数式化简，方程、不等式的解法，以及函数作图等.解答时，一般是根据定义
先化去绝对值符号，这时关健是按已知条件判断绝对值符号内的式子的值是正或是负，若含有变量的代数式，不能确定其正、负时，则采取零点分区讨论法. 例如： （1）化简 x(x?2)
X<0 0 解：当x<0时，x=－2； 当0≤x≤2时，方程无解； 当x>2时，x=4. ∴原方程的解是：x=－2， x=4.. （3）作函数y=x?x?2的图象. 解：化去绝对值符号，得y=－2x+2 (x<0)； y=2 (0≤x≤2) ； y=2x－2 (x>2). 分别作出上述三个函数的图象（如图），就是函数y=x?x?2的图象. 3. 绝对值的几何意义是：在数轴上一个数的绝对值，就是表示这个数的点离开原点的距离. 用这一定义，在解含绝对值符号的方程、不等式时，常可用观察法. 例如： ①解方程x?3； ②解不等式x?3； ③解不等式x＋2?3. 解：①∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离等于3个单位的点所表示的数，即3和－3， ∴方程x?3的解是x=3, x=－3. ②∵x?3的几何意义是：x是数轴上到原点的距离小于3个单位的点所表示的数，∴不等式x?3的解集是 －3＜x＜3. ③∵x?2的零点是x=－2, ∴x＋2?3的几何意义是：x是数轴上到点（－2）的距离大于3个单位的点所表示的数， ∴x＋2?3的解集是x<－5或x>1.（如下图） 4. 绝对值的简单性质： --5 -2 0 1 ①绝对值是非负数； ②两个互为相反数，它们的绝对值相等. 根据这些性质，可简化函数的作图步骤. 例如： （1）对整个函数都在绝对值符号内时，可先作出不含绝对值符号的图象，再把横轴下方的部份，绕x轴向上翻 折 作函数图象：①y=x?1 ②y=x2?x?2 （2） 当f（－x）=f(x),图象关于纵轴对称，这时可先作当x<0时函数图象，再画出关于纵轴对称的图象. 例如：y=x2－2x－3的图象， 可先作y=x2+2x－3自变量x<0时的图象（左半图） 再画右半图（与左半图关于纵轴对称）. （3） 把y=x的图象向上平移a个单位，所得图象解析式是y=x?a； 把y=x的图象向右平移3个单位，所得图象解析式是y=x－3. （4） 利用图象求函数最大值或最小值，判断方程解的个数都比较方便. 乙例题 例1. 已知方程x＝ax+1有一个负根并且没有正根，求a的值. （1987年全国初中数学联赛题） 解：当x<0时，原方程为－x=ax+1, x= ∴a>－1； 当x>0时，原方程为x=ax+1, x= ∴a<1. ∵方程有一个负根并且没有正根， ∴a>－1且a≮1， ∴a的取值范围是a≥1. 例2. 求函数y=2x－3?x的最小、最大值. －1?0, ∴ a+1>0. a?11?0, ∴1－a>0. 1－a解：当x<0时， y=－x+6； 当0≤x<3时，y=－3x+6； 当x≥3时， y=x－6 . 根据图象有最低点而没有最高点 ∴函数没有最大值只有最小值－3(当x=3时). 例3. 解方程：①x?2?4?x； ②x?1?x?2?4. 解：①∵点（x）到点A（－2）和点B（4）的距离相等（如下图）， ∴x=1. ②∵点（x）到点A（－1）与到点B（2）的距离的和等于4，AB＝3 ∴x=2.5, x=-1.5. 例4. 解不等式: ①1≤x?2≤3； ②x?1?x?2?1. 解：①点（x）到点A（－2）的距离大于或等于1而小于或等于3 在数轴上表示如图， ∴不等式的解集是： －5≤x≤－3 或－1≤x≤1 ②点(x) 到点(-1)的距离，比到点(2)的距离大1个单位以上. 在数轴上表示，如图： ∴不等式的解集是x>1. 例5. a取什么值时，方程x?2?1?a 有三个整数解？ (1986年全国初中数学联赛题) 解：化去绝对值符号，得x?2?1=±a, x?2=1±a , x－2=±(1±a)， ∴x=2±(1±a) . 当a=1时，x恰好是三个解4，2，0. 用图象解答更直观； （1）先作函数 y=x?2?1 图象， （2）再作y=a(平行于横轴的直线 )与y=x?2?1 图象相交， 恰好是三个交点时，y=1, 即a=1. 本题若改为： 有四个解，则0 丙练习62 1. 方程x?3=4的解是＿＿＿＿＿＿＿. 2. 方程x-2-x?6=0的解是________. 3. 方程x?1?x?2=3的解是________. 4. 方程x?3?x=5的解是＿＿＿＿＿＿＿. 5. 不等式2≤ x?3≤5的解集是___________________. 6. 不等式x?1?x?2<5的解集是_______________________. 7. 不等式x?1?x?2<3的解集是_______________________. 8. 不等式2x-1?x?1的解集是_______________________. 9. 已知(x?3)?3-x, 那么 1?x?x?_______________. 210. 关于x的方程x=ax+2有根且只有负根，求a取值范围. 11. a取什么值时，方程x?2?1?a无解？有解？有最多解？ 12. 作函数y=x?2?x?1?x?3的图象；并求在－3≤x≤3中函数的最大、最小值. 13. 解方程x?1?x?5?4. 14. 作函数y=x?x2?1的图象. 15. 选择题：（1972、1973年美国中学数学竞赛试题） ①.对于实数x ，不等式1≤｜x－2｜≤7等价于（ ） （A） x≤1或x≥3 （B）1≤x≤3 （C）－5≤x≤0 （D）－5≤x≤1或3≤x≤9 （E）－6≤x≤1或3≤x≤10 ②不等式｜x－1｜+｜x+2｜<5的所有的实数解的集合是（ ） ?3?x?2? (B) ?x：?1?x?2? (C) ?x：?2?x?1? （A）?x：?1.5?x?3.5? (E) φ（空集） (D) ?x：
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