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性质化简.
?sinx?2??22【解析】????x?dx?2?xdx?.
0?4?2?1?cosx(11)若函数z?( 2确定，则z,x由)y方程 ?dz(0,1)?____ ____.【答案】?dx
【分析】此题考查隐函数求导.
【解析】令F(x,y,z)?ez?xyz?x?cosx?2，则
Fx?(x,y,z)?yz?1?sinx,Fy??xz,Fz?(x,y,z)?ez?xy 又当x?0,y?1时ez?1，即z?0. 所以
?z?x?(0,1)?Fx?(0,1,0)?z??1,Fz?(0,1,0)?yFy?(0,1,0)???0，因而(0,1)Fz?(0,1,0) dz(0,?1)?d.x(12)设?是由平面x?y?z?1与三个坐标平面所围成的空间区域，则???(x?2y?3z)dxdydz?__________.
?【答案】
1 4【分析】此题考查三重积分的计算，可直接计算，也可以利用轮换对称性化简后再计算. 【解析】由轮换对称性，得
???(x?2y?3z)dxdydz?6???zdxdydz?6?zdz??dxdy，
1其中Dz为平面z?z截空间区域?所得的截面，其面积为(1?z)2.
2所以
1111232(x?2y?3z)dxdydz?6zdxdydz?6z?(1?z)dz?3(z?2z?z)dz?. ????????0024????0Dz1[重点实用参考文档资料]
2[重点实用参考文档资料] 002?1202(13)n阶行列式?___________. 20000222n?1【答案】 2?2?120002?12Dn??2Dn?1?(?1)n?12(?1)n?1?2Dn?1?2【解析】按第一行展开得 002200?12?2
?2(2Dn?2?2)?2?22Dn?2?22?2?2n?2n?1??2n?1?2
(14)设二维随机变量(x,y)服从正态分布N(1,0;1,1,，0则 _P{XY?Y?0}?______【答案】
1 2【解析】由题设知，X~N(1,1),Y~N(0,1)，而且X、Y相互独立，从而
P{XY?Y?0}?P{(X?1)Y?0}?P{X?1?0,Y?0}?P{X?1?0,Y?0}
11111?P{X?1}P{Y?0}?P{X?1}P{Y?0}?????.
22222三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置．．．上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
(15)(本题满分10分)设函数f?x??x?l，an(1?x)?bxsinxg(x)?kx3，若f?x?与g?x?在x?0是等价无穷小，求a,b,k的值.
11【答案】a??1,b??,k??.
23x?aln?1?x??bxsinx23lim?1（泰勒展开法） 【解析】法一：原式??3x3xxx?03?kx3?x?a?x???o?x???bx?x??o?x??236?????1 ?lima?2kxa33b4x?0b?x?x?x?o?x3??1?a?x????2?36??lim?1
x?0kx3[重点实用参考文档资料]
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aa?0,?1 23k11?a??1,b??,k??
23即1?a?0,b?(16)(本题满分10分)设函数f?x?在定义域I上的导数大于零，若对任意的x0?I，由线y=f?x?在点x0,f?x0?处的切线与直线x?x0及x轴所围成区域的面积恒为4，且f?0??2，求f?x?的表达式. 【答案】f(x)?8. 4?x??【解析】设f?x?在点?x0,f?x0??处的切线方程为：
y?f?x0??f??x0??x?x0?, 令y?0，得到x??故由题意，
f?x0?11f?x0???x0?x??4，即f?x0???4，可以转化22f??x0?f?x0??x0， ?f?x0?为一阶微分方程，
y2 88即y??， 2，两边同时积分可得G ，将f 0 2，代
8入上式可得c 4 即f?x??8. ?x?4(17)(本题满分10分)
已知函数
f?,x??y?x?，y曲x线yC：
x2?y2?xy?3，求f?x,y?在曲线C上的最大方向导数.
【答案】3
【解析】因为f?x,y?沿着梯度的方向的方向导数最大，且最大值为梯度的模.
fx'?x,y??1?y,fy'?x,y??1?x，
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故gradf?x,y???1?y,1?x?，模为此题目转化为对函数g?x,y???1?y???1?x?222，
在约束条件
?1?y???1?x?22C:x2?y2?xy?3下的最大值.即为条件极值问题.
为了计算简单，可以转化为对d(x,y)??1?y???1?x?在约束条件
2C:x2?y2?xy?3下的最大值.
构造函数：F?x,y,????1?y???1?x???x2?y2?xy?3 ?Fx??2?1?x????2x?y??0?，得到?Fy??2?1?y????2y?x??0?F???x2?y2?xy?3?0?M1?1???M3?1M4?,??,?M2?1?,?.
22??1d?M1??8,d?M2??0,d?M3??9,d?M4??9 所以最大值为9?3. (18)(本题满分10分)
（I）设函数u(x),v(x)可导，利用导数定义证明
[u(x)(vx)]??u?(x)(vx)?u(x)v?(x)
（II）设函数u1(x),u2(x),写出f(x)的求导公式.
,un(x)可导，f(x)?u1(x)u2(x)un(x)，
【解析】（I）[u(x)v(x)]??limu(x?h)v(x?h)?u(x)v(x)
h?0hu(x?h)v(x?h)?u(x?h)v(x)?u(x?h)v(x)?u(x)v(x)?lim h?0hv(x?h)?v(x)u(x?h)?u(x)?limu(x?h)?limv(x) h?0h?0hh?u(x)v?(x)?u?(x)v(x)
（II）由题意得
f?(x)?[u1(x)u2(x)un(x)]?
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?u1?(x)u2(x)un(x)?u1(x)u2?(x)un(x)??u1(x)u2(x)un?(x)
(19)(本题满分10分)
??z?2?x2?y2,已知曲线L的方程为?起点为A0,2,0，终点为
??z?x,，计算曲线积分B0,?2,0????I???Ly??d2π 2?2z??2xd?z(?x. 22)?ydy?x【答案】
?x?cos??ππ【解析】由题意假设参数方程?y?2sin?，?:??
22?πz?cos??2?2sin2[?(2sin??cos?)sin???cos??(1?sin?)sin?]d? ?π???2sin2??sin?cos??(1?sin2?)sin?d?
?22?sin2?d??π202π?2π22π 2(20)(本题满11分)
设向量组α,α2,α3内R3的一个基，β1=2α1+2kα3，β2=2α2，
1β3=α1+?k+1?α3.
（I）证明向量组?1?2?3为R3的一个基;
（II）当k为何值时，存在非0向量ξ在基α1,α2,α3与基?1?2?3下的坐标相同，并求所有的ξ. 【答案】
【解析】证明： k?3,2?2,?1+?k?1??3???1,?2,?3(I)???2?1+21??20???2??1,0?2,?120?3??021?020??20k?1??4?0 ?2k2kk?12k0k?13故β1,β2,β3为R的一个基.
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[实用参考]2015年考研数学一真题及答案解析
