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[实用参考]2015年考研数学一真题及答案解析

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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题 一、选择题:18小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ...

(1)设函数f(x)在???,???内连续,其中二阶导数f??(x)的图形如图所示,则曲线y?f(x)的拐点的个数为()

(A)0(B)1(C)2(D)3

【答案】(C)

【解析】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点,并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此,由f??(x)的图形可得,曲线y?f(x)存在两个拐点.故选(C).

11(2)设y?e2x?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方

23程y???ay??by?cex的一个特解,则()

(A)a??3,b?2,c??1 (B)a?3,b?2,c??1 (C)a??3,b?2,c?1 (D)a?3,b?2,c?1 【答案】(A)

【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已

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知解来确定微分方程的系数,此类题有两种解法,一种是将特解代入原方程,然后比较等式两边的系数可得待估系数值,另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解,也就是下面演示的解法.

11【解析】由题意可知,e2x、?ex为二阶常系数齐次微分方程

23y???ay??by?0的解,所以2,1为特征方程r2?ar?b?0的根,从而a??(1?2)??3,从而原方程变为y???3y??2y?cex,b?1?2?2,再将特解y?xex代入得c??1.故选(A)

(3)若级数?an条件收敛,则x?3与x?3依次为幂级数

??na(x?1)nn?1?n?1n的()

(A)收敛点,收敛点 (B)收敛点,发散点 (C)发散点,收敛点 (D)发散点,发散点 【答案】(B)

【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间,幂级数的性质。 【解析】因为?an条件收敛,即x?2为幂级数?an(x?1)n的条件收敛点,所以?an(x?1)n的收敛半径为1,收敛区间为(0,2)。而

n?1n?1?n?1??幂级数逐项求导不改变收敛区间,故?nan(x?1)n的收敛区间还是

n?1?(0,2)。因而x?3与x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的收敛点,

n?1?发散点.故选(B)。

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(4)设D是第一象限由曲线2xy?1,4xy?1与直线y?x,

y?3x围成的平面区域,函数f?x,y?在D上连续,则

??f?x,y?dxdy?()

D(A)??3d??(B)??3d??4?4?4??1sin2?12sin12?f?rcos?,rsin??rdr

(C)??3d??sin12?f?rcos?,rsin??dr

2sin12?sin2?12sin12?f?rcos?,rsin??rdr

(D)??3d??4sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr

【答案】(B) 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形,

f(rcos?,rsin?)rdr,故选(B) 所以??f(x,y)dxdy???3d???1??1141?D?,b??d?,若集合??1,2,12a(5)设矩阵A?????????14a2??d2?????则线性方程组Ax?b有无穷多解的充分必要条件为()

(A)a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D)a??,d?? 【答案】D 【

?111?(A,b)??12a?14a2??1sin2?12sin2?解析】1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??, [重点实用参考文档资料]

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由r(A)?r(A,b)?3,故a?1或a?2,同时d?1或d?2。故选(D) (6)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换为x?Py下的标准形

22?y3为2y12?y2,其中P??e1,e2,e3?,若Q??e1,?e3,e2?,

则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为()

22?y3(A)2y12?y2

22?y3(B)2y12?y2 22?y3(C)2y12?y2 22?y3(D)2y12?y2

【答案】(A)

?200?22【解析】由.且 f?xTAx?yT(PTAP)y?2y12?y2?y3?x?Py,故?TPAP??010??1?00????00??1?. Q?P?001??PC?200??0?10??TT?? ?TQAQ?C(PAP)C??0?10??001? ??22所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y12?y2。选(A) ?y3(7)若A,B为任意两个随机事件,则()

(A)P?AB??P?A?P?B?(B)P?AB??P?A?P?B? (C)P(AB)?【答案】(C)

【解析】由于AB?A,按概率的基本性质,我们有,AB?B且P(AB)?P(B),从而P(AB)?P(AB)?P(A)P?A?P?B?P(A)?P(B)(D)P?AB??

22P(A)?P(B),选(C).

2(8)设随机变量X,Y不相关,且EX?2,EY?1,DX?3,则

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E??X?X?Y?2????()

(A)?3(B)3(C)?5(D)5 【答案】(D) 【

E[X(X?Y?2)]?E(X2?XY?2X)?E(X2)?E(XY)?2E(X) ?D(X)?E2(X)?E(X)?E(Y)?2E(X) ?3?22?2?1?2?2?5,选(D).

二、填空题:914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题..纸指定位置上. .

lncosx?_________. (9)lim2x?0x1【答案】?

20【分析】此题考查型未定式极限,可直接用洛必达法则,也可以

0用等价无穷小替换.

?sinxln(cosx)cosx?lim?tanx??1.(罗【解析】方法一:lim?limx?0x?0x?0x22x2x2比达法则) 方

llx2?xx?0?i?nx?01?x2(x?m2?2x二:

c2lx?0x?o?2x(等价无穷小替换)

sinx(10)?2?(?x)dx?________.

?cosx21?2π【答案】

4【分析】此题考查定积分的计算,需要用奇偶函数在对称区间上的

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[重点实用参考文档资料]2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题一、选择题:18小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。...(1)设函数f(x)在???,???内连续,其中二阶导数f??(x)的图形如图所示,则曲线y?f(x)的拐点的个数为()(A)
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