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2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题 一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。 ．．．
(1)设函数f(x)在???,???内连续，其中二阶导数f??(x)的图形如图所示，则曲线y?f(x)的拐点的个数为()
(A)0(B)1(C)2(D)3
【答案】（C）
【解析】拐点出现在二阶导数等于0，或二阶导数不存在的点，并且在这点的左右两侧二阶导函数异号。因此，由f??(x)的图形可得，曲线y?f(x)存在两个拐点.故选（C）.
11(2)设y?e2x?(x?)ex是二阶常系数非齐次线性微分方
23程y???ay??by?cex的一个特解，则()
(A)a??3,b?2,c??1 (B)a?3,b?2,c??1 (C)a??3,b?2,c?1 (D)a?3,b?2,c?1 【答案】（A）
【分析】此题考查二阶常系数非齐次线性微分方程的反问题——已
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知解来确定微分方程的系数，此类题有两种解法，一种是将特解代入原方程，然后比较等式两边的系数可得待估系数值，另一种是根据二阶线性微分方程解的性质和结构来求解，也就是下面演示的解法.
11【解析】由题意可知，e2x、?ex为二阶常系数齐次微分方程
23y???ay??by?0的解，所以2,1为特征方程r2?ar?b?0的根，从而a??(1?2)??3，从而原方程变为y???3y??2y?cex，b?1?2?2，再将特解y?xex代入得c??1.故选（A）
(3)若级数?an条件收敛，则x?3与x?3依次为幂级数
??na(x?1)nn?1?n?1n的()
(A)收敛点，收敛点 (B)收敛点，发散点 (C)发散点，收敛点 (D)发散点，发散点 【答案】（B）
【分析】此题考查幂级数收敛半径、收敛区间，幂级数的性质。 【解析】因为?an条件收敛，即x?2为幂级数?an(x?1)n的条件收敛点，所以?an(x?1)n的收敛半径为1，收敛区间为(0,2)。而
n?1n?1?n?1??幂级数逐项求导不改变收敛区间，故?nan(x?1)n的收敛区间还是
n?1?(0,2)。因而x?3与x?3依次为幂级数?nan(x?1)n的收敛点，
n?1?发散点.故选（B）。
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(4)设D是第一象限由曲线2xy?1，4xy?1与直线y?x，
y?3x围成的平面区域，函数f?x,y?在D上连续，则
??f?x,y?dxdy?()
D(A)??3d??(B)??3d??4?4?4??1sin2?12sin12?f?rcos?,rsin??rdr
(C)??3d??sin12?f?rcos?,rsin??dr
2sin12?sin2?12sin12?f?rcos?,rsin??rdr
(D)??3d??4sin2?12sin2?f?rcos?,rsin??dr
【答案】（B） 【分析】此题考查将二重积分化成极坐标系下的累次积分 【解析】先画出D的图形，
f(rcos?,rsin?)rdr，故选（B） 所以??f(x,y)dxdy???3d???1??1141?D?，b??d?，若集合??1,2，12a(5)设矩阵A?????????14a2??d2?????则线性方程组Ax?b有无穷多解的充分必要条件为()
(A)a??,d?? (B)a??,d?? (C)a??,d?? (D)a??,d?? 【答案】D 【
?111?(A,b)??12a?14a2??1sin2?12sin2?解析】1??1111????d???01a?1d?1?2??d??00(a?1)(a?2)(d?1)(d?2)??， [重点实用参考文档资料]
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由r(A)?r(A,b)?3，故a?1或a?2，同时d?1或d?2。故选（D） (6)设二次型f?x1,x2,x3?在正交变换为x?Py下的标准形
22?y3为2y12?y2，其中P??e1,e2,e3?，若Q??e1,?e3,e2?，
则f?x1,x2,x3?在正交变换x?Qy下的标准形为()
22?y3(A)2y12?y2
22?y3(B)2y12?y2 22?y3(C)2y12?y2 22?y3(D)2y12?y2
【答案】(A)
?200?22【解析】由.且 f?xTAx?yT(PTAP)y?2y12?y2?y3?x?Py，故?TPAP??010??1?00????00??1?. Q?P?001??PC?200??0?10??TT?? ?TQAQ?C(PAP)C??0?10??001? ??22所以f?xTAx?yT(QTAQ)y?2y12?y2。选（A） ?y3(7)若A,B为任意两个随机事件，则()
(A)P?AB??P?A?P?B?(B)P?AB??P?A?P?B? (C)P(AB)?【答案】(C)
【解析】由于AB?A，按概率的基本性质，我们有,AB?B且P(AB)?P(B)，从而P(AB)?P(AB)?P(A)P?A?P?B?P(A)?P(B)(D)P?AB??
22P(A)?P(B)，选(C).
2(8)设随机变量X,Y不相关，且EX?2,EY?1,DX?3，则
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E??X?X?Y?2????()
(A)?3(B)3(C)?5(D)5 【答案】(D) 【
解
析
】
E[X(X?Y?2)]?E(X2?XY?2X)?E(X2)?E(XY)?2E(X) ?D(X)?E2(X)?E(X)?E(Y)?2E(X) ?3?22?2?1?2?2?5，选(D).
二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题．．纸指定位置上. ．
lncosx?_________. (9)lim2x?0x1【答案】?
20【分析】此题考查型未定式极限，可直接用洛必达法则，也可以
0用等价无穷小替换.
?sinxln(cosx)cosx?lim?tanx??1.（罗【解析】方法一：lim?limx?0x?0x?0x22x2x2比达法则） 方
法
llx2?xx?0?i?nx?01?x2(x?m2?2x二：
c2lx?0x?o?2x（等价无穷小替换）
sinx(10)?2?(?x)dx?________.
?cosx21?2π【答案】
4【分析】此题考查定积分的计算，需要用奇偶函数在对称区间上的
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[实用参考]2015年考研数学一真题及答案解析
