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等比数列的概念教案
教学目标
1．理解等比数列的定义，并能以方程思想作指导，理解和运用它的通项公式．
2．逐步体会类比、归纳的思想，进一步培养学生概括、抽象思维等能力．
3．培养学生严密的思维习惯，促进个性品质的良好发展． 教学重点和难点
重点：等比数列要领的形成及通项公式的应用． 难点：对要领的深刻理解． 教学过程设计 (一)引入新课
师：前面我们已经研究了一类特殊的数列──等差数列，今天我们一起研究第二类新的数列──等比数列． (板书)三 等比数列 (二)讲解新课
师：等比数列与等差数列在名字上非常类似，只有一字之差，一个是差，一个是比，你能否仿照等差数列，举列说明你对等比数列的理解． (要求学生能主动的用类比思想，通过具体例子说明对概念的理解) 生：数列1，3，9，27，…
师：你为什么认为它是等比数列呢？
生：因为这个数列相邻两项的比都是相等的，所以是等比数列． (先引导学生用自己的语言描述等比数列的特征，但暂时不作评论，以防限制其他学生的思维)
师：这是你对等比数列的理解，不过这个例子中的项是一项比一项大，能否再举一个一项比一项小的．
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师：你对等比数列的理解呢？
生：数列中每一项与前一项的比都是同一个常数．
师：他们对等比数列理解基本相同的，能否再换个样子，举一个例子．
(若理解没有什么变化，就不必让学生再重复了)
师：下面再举例子又增加点要求，既然要去研究它，说明它一定有实际应用价值，那么能否再举一个生活中的等比数列例子．
生：如生物学中细胞分裂问题：1个细胞经过一次分裂变为2个细胞，这两个细胞再继续分裂成为4个细胞．这样分裂继续下去，细胞个数从1到2到4到8，把每次分裂后所得细胞个数排列好可形成一个数列1，2，4，8，16，…这个数列就是等比数列．
师：这个例子举得很好，不仅能够发现生活中的数学问题，还能把数学知识应用在其它学科，其实等比数列的应用是非常广泛的，说明它确有很高的研究价值．
说了这么多，也发现了等比数列的特征，能否试着给等比数列下个定义呢？
生：如果一个数列的每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．
师：作为定义这种叙述还有一点不足，为保证这样比都作得出来，这每一项应从数列的第二项起，否则第一项没有前一项，也就做不出这个比，调整之后，再找一位同学准确描述一下等比数列．
生：如果一个数列，从第二项起．每一项与前一项的比都等于一个常数，那么这个数列叫做等比数列．
师：好，就把它作为等比数列的定义记录下来．
(板书)1．定义 如果一个数列，从第二项起，每一项与前一项的比都是同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比，记作q．
(教师在叙述的同时，再强调为突出所做出的比都相等，应写为同一个常数更准确)
师：记住这句话并不难，关键是如何理解它，并利用它解决问题，先回到刚才几个例子看它们是否是等比数列，如果是，公比是多少？
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师：好，公比会找了，再来看这样一件事，等比数列从定义上与等差数列有很多密切关系使我们想到，有没有这样的数列，它既是等差数列也是等比数列呢？
生：有，如数列1，1，1，1，…是一个以0为公差的等差数列，也是以1为公比的等比数列．
师：除了这个数列以外，还能再举一个吗？
师：他们举的例子都是对的，而且从例子中数列的特征，使我们联想到，形如a，a，a，…(a∈R)的数列好像都满足既是等差又是等比数列，是这样吗？
(可让学生作短暂的讨论，再找学生回答)
生：形如a，a，a，…这样的数列一定是等差数列(这一点可以由等差数列的定义加以证明)．但它未必是等比数列． 师：能具体解释一下吗？
生：当a=0时，数列每一项均为零，都不能作比，因此不是等比数列，a≠0时，此数列是等比数列．
师：这个回答非常准确，通过对这个问题的研究，对于我们进一步认识等比数列有什么帮助吗？从中得到什么启示吗？
生：等比数列中的每一项都不能为零，因为在定义中，数列中每一项都要做分母，所以均不能为零．
师：这一点实际上是隐含在定义的叙述之中的，从另一个角度上讲，数列各项均不为零是这个数列成等比数列的什么条件呢？ 生：是必要非充分条件．
师：这是我们对等比数列进一步理解得到第一点共识． (板书)2．对定义的理解
(1)“an≠0”是数列｛an｝成等比数列的必要非充分条件． 师：这一点是对等比数列的项的特殊要求，这与等差数列也是不同的．
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下面从另外一个角度研究一下定义，数学定义一般都是用文字语言叙述表达的，但是在使用时往往需要符号化，因此下面试用数学符号语言来描述它？
师：这种描述过于具体，能否用简单的一个式子来概括这么多个比的等．
师：由于n可取任意自然数，故an+1可表示数列中每一项，an可表示相应的前一项，因此这一个比可以代表无数多个比的相等，所以这个式子与定义是等价的．
师：这个比式也可作为我们判断一个数列{an}是否是等比数列的依据．这样我们就完成了对等比数列的定义的研究、回顾一下研究过程．主要做了这样两件事：一是利用类比方法得到了等比数列的定义；二是用抽象概括将定义翻译为符号语言，并能利用它证明一个数列是否是等比数列．
下面要进一步研究等比数列，必须先搞清怎么表示一个等比数列，要表示数列，需先确定这个数列，确定一个等比数列几个条件呢？ 生：两个条件． 师：哪两个条件？ 生：可以是首项和公比
师：如果等比数列｛an｝，首项为a1，公比为q，你会用什么方法来表示这个等比数列呢？
生：可以表示为a1，a2，a3，a4…这是常用的列举法
师：刚才举例时用的就是这种表示方法，除此之外，还有其它表示法吗？
师：这两种表示法各有所长，但使用最方便的还是通项公式法．即如果已知{an}是等比数列，首项是a1，公比是q，如何用n的解析式表示数列中的第n项呢？
(板书) 3．等比数列的通项公式
(1)已知等比数列｛an｝，首项为a1，公比为q，则an=？ 生：an=a1qn-1(n∈N+)． 师：你是怎么得到的．
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生：根据已知条件，数列可以写成a1，a1q，a1q2，a1q3，…从而发现规律，归纳出第n次an=a1·qn-1．
师：归纳的结论是正确的，且用的方法，调动的知识都非常好，寻找通项即寻找项的一般规律，先看特殊项，写出几项，再归纳出一般结论．这种方法是不完全归纳法，因此这个结论的正确性是需要证明的(请同学们课下完成)．
(板书)an=a1qn-1(n∈N+)． (2)对公式的认识与理解
师：对于这个通项公式，可以从几个方面去认识它呢？
(这不是第一次遇到这类公式，学生应知道从什么角度去认识公式) 生：可以从函数观点去认识，把通项公式看作关于n的解析式． 师：与什么函数的解析式相类似． 生：指数函数．
师：它类似于指数函数解析式，说明它在某些方面可能与指数函数有联系．
生：还可以把它看作一个方程，用方程思想来求解其中的量． 师：方程中有四个量，知三求一是最简单的公式应用，不过当已知a1，q和an，求n时，此时的方程是个指数方程，求解时需多加注意．如｛an｝是等比数列，首项是2，公比是2，那么256是数列中第几项？ 生：因为an=a1qn-1，则an=2·2n-1=2n．又an=256，得256=2n．解得n=8．
师：其它的例子不再举了．但如果只知二，那么就能求二，但求二恐怕一个方程就不能解决了，需要方程组才能解决．这也就是通项公式的不同层次的应用了，下面一起看这样一个题目．
(板书) 例1 一个等比数列的第二项是2，第三项与第四项的和是12，求它的第八项的值．
师：拿到这个题目，你打算怎样设计你的求解方案，或者说对这个题目有什么想法．
生：想求出首项和公比．
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等比数列概念优秀教案
