第二节导数与函数的单调性
一、基础知识批注——理解深一点
函数的单调性与导数的关系 函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，
(1)若f′(x)>0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递增函数； (2)若f′(x)<0，则f(x)在区间(a，b)内是单调递减函数； (3)若恒有f′(x)＝0，则f(x)在区间(a，b)内是常数函数．
讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优先”原则.
二、常用结论汇总——规律多一点
(1)在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．
(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)上的任何子区间内都不恒为零．
三、基础小题强化——功底牢一点
?一?判一判?对的打“√”，错的打“×”?
(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)>0.( )
(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内没有单调性．( ) (3)在(a，b)内f′(x)≤0且f′(x)＝0的根有有限个，则f(x)在(a，b)内是减函数．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
(二)选一选
1．函数f(x)＝cos x－x在(0，π)上的单调性是( ) A．先增后减 C．增函数
B．先减后增 D．减函数
解析：选D ∵f′(x)＝－sin x－1＜0， ∴f(x)在(0，π)上是减函数，故选D.
2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为( ) A．(0,1) C．(1，＋∞)
B．(0，＋∞)
D．(－∞，0)，(1，＋∞)
1x－1
解析：选A 函数的定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝1－x＝x，令f′(x)<0，得0 第 1 页 共 12 页 故f(x)的单调递减区间为(0,1)． 3．若函数f(x)＝kx－ln x在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是( ) A．(－∞，－2] C．[2，＋∞) B．(－∞，－1] D．[1，＋∞) 1 解析：选D 因为f(x)＝kx－ln x，所以f′(x)＝k－.因为f(x)在区间(1，＋∞)上单调 x11 递增，所以当x>1时，f′(x)＝k－≥0恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为 xx1x>1，所以0<<1，所以k≥1. x (三)填一填 4．函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为________． 解析：f′(x)＝[(x－3)ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex.令f′(x)>0，解得x>2.故所求单调递增区间为(2，＋∞)． 答案：(2，＋∞) 5．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在R上单调递减，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在R上恒成立，所以Δ＝4a2－12≤0，解得－3≤a≤ 3. 答案：[－3，3 ] 考点一 利用导数研究函数的单调性 [典例] 已知函数f(x)＝ln x＋[解] f′(x)＝ ax－1 (x>0)， ax211 －(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性． axa ①当a<0时，f′(x)>0恒成立， ∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 第 2 页 共 12 页 ②当a>0时，由f′(x)＝由f′(x)＝ ax－11 2>0，得x>； aax ax－11 2<0，得0 1?上单调递增，在?0，1?上单调递减． ，＋∞∴函数f(x)在??a??a?综上所述，当a<0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 1?上单调递增，在?0，1?上单调递减． ，＋∞当a>0时，函数f(x)在??a??a? [解题技法] 讨论函数f(x)单调性的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求导数f′(x)，并求方程f′(x)＝0的根； (3)利用f′(x)＝0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f′(x)的正负，由符号确定f(x)在该区间上的单调性． [提醒] 研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论． [题组训练] 1．函数f(x)＝ex－ 1 在定义域内为________函数(填“增”或“减”)． x＋1 解析：由已知得函数f(x)的定义域为{x|x≠－1}． ∵f(x)＝ex－ 11，∴f′(x)＝ex＋>0. x＋1?x＋1?2∴f(x)在定义域内为增函数． 答案：增 2．已知函数f(x)＝aln x＋x2(a∈R且a≠0)，讨论函数f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)． 2x2＋aa 因为f(x)＝aln x＋x，所以f′(x)＝＋2x＝. xx 2 ①当a>0时，f′(x)>0， 所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增． ②当a<0时，令f′(x)＝0，解得x＝ 当0 a－时，f′(x)<0， 2 a －(负值舍去)， 2 所以函数f(x)在?0， ? a?－上单调递减； 2? 第 3 页 共 12 页
2020届高考数学一轮复习通用版讲义导数与函数的单调性
