§2.3.1双曲线及其标准方程
1．教学背景 1.1 学生特征分析
我授课班级是海南侨中理科班，方法储备上，学生经过学习，已经基本适应高中数学学习规律，但是学习方法还是停留在简单模仿，反复练习层次上，对知识的生成与发展，区别与联系认识不深，缺少抽象概括及分析综合能力。
知识储备上，学生已经系统的学习了直线方程，圆的方程以及椭圆的相关知识，学生熟知椭圆的定义，会根据题目条件求简单的椭圆的标准方程。但是由于接触学习椭圆的时间还相对较短，对椭圆的基本性质了解不深，而且理性思维比较欠缺，且计算能力的短板约束使得在处理直线与椭圆等综合问题时还存在困难。把新问题转化为已解决问题的能力有待提高，缺乏选择、调整解决问题策略的能力。 1.2教师特点分析
自己教学中的优势：注重问题引导、思路分析、善于与信息技术的整合、善于鼓励学生，能对学生进行有效指导。
不足：课堂教学语言相对不够准确简练、板书不够清晰美观。 1.3 学习内容分析
1、内容分析：学生初步认识圆锥曲线是从椭圆开始的，双曲线的学习是对其研究内容的进一步深化和提高。如果双曲线研究的透彻、清楚，那么抛物线的学习就会顺理成章。所以说本节课的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向为双曲线的简单性质的学习打下基础。从高考大纲要求和课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。正因如此，学生在学习过程当中对双曲线缺少应有的重视，成为了学生的一个失分点。而且由于学生对椭圆与双曲线的区别与联系认识不够，无法做到知识与方法的迁移，在学习双曲线时极易与椭圆混淆。在教学中要时刻注意运用类比的方法，让学生充分的类比体会椭圆与双曲线的异同点，使得椭圆与双曲线的学习能相互促进。 2、例题分析：
温故：帮助学生复习椭圆的定义，提出问题。
探究：如图，实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分；
2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上；
3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线.
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点M在运动过程中满足什么几何条件？(如图（A）、（B）)
点M满足的几何条件： 点M满足的几何条件： 从直观上让学生认识双曲线,分析双曲线上动点所满足的几何关系,类比椭圆定义，帮助学生归纳双曲线的定义。
例题：例1已知双曲线的两个焦点分别为F1(?5,0)，F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2距离差的绝对值等于6，（1）求双曲线的标准方程. （2）双曲线上一点Ｐ，若|PF1|=10，则|PF2|=
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让学生能够在初步认识双曲线的定义和标准方程的情况下，分清a,b,c，能直接写出标准方程。
思考：把例1中的绝对值去掉，求点P的轨迹，再次从轨迹方程的角度辨析概念，帮助学生形成完整准确的理性认识。 2．教学目标
1、掌握双曲线的定义和标准方程。
2、学生经历定义的归纳、发现，和标准方程的推导过程，进一步体会类比和数形结合的思想方法，提高观察能力和探究分析能力。
3、在教师的指导下进行交流探索，能用联系的观点认识问题，对数学学科方法有所认识，能对数学学科产生兴趣。
【教学重点】理解和掌握双曲线的定义及其标准方程 【教学难点】双曲线标准方程的推导 【教学方式】启发式、探究式 【辅助工具】多媒体课件，几何画板。
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3．教学方法
著名数学家波利亚认为：“学习任何东西最好的途径是自己去发现。”
双曲线的定义和标准方程与椭圆很类似，学生已经有了一些学习椭圆的经验， 因此在教学中采用了 “启发探究”式的教学方法，重点突出以下两点：（1） 以类比思维作为教学的主线（2） 以自主探究 作为学生的学习方法
三、教学过程与设计
教学 环节 一、温故知新 1.复习椭圆概念 2．那么，与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 学生回答 教师展示课件， 提出问题：与两定点距离的差为非零常数的点的轨迹是什么？ 二、实验操作 ， 形成概念 3.引入新课题，探索新概念 实验操作：1.取一条拉链，拉开一部分； 2.在拉开的两边各选择一点，分别固定在点F1，F2上； 3.把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，画出一条曲线. 点M在运动过程中满足什么几何条件？ 如图（A）， 1. 动点M满足什么几何条件？ 2. 类比椭圆定义，大家能否复习巩固旧知识，为引入双曲线定义作铺垫. 激发学生兴趣，让学生带着问题学习 类比椭圆的定义，让学生能从图中分析得到双曲线的定义，而且强互助合作，讨论分析。 教师课件展示，问题引导，学生回答。 教学过程 师生活动 设计意图 教学策略 问答 归纳一下双曲线的定义？ 调椭圆与双曲3. 常数有没有要求？为什么？ 把拉链固定的两个点位置互换，此时点M满足什么几何条件？如图（B）， 线定义的区别与联系
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归纳双曲线定义 三、 推理验证 以F1,F2所在的直线为x轴，线段 F1,F2的中点为原点建立直角坐标系 2. 设点． 设M（x , y）,则F1(-c,0),F2(c,0) 3.列式 |M F1| - |M F2|=±2a 回忆椭圆标准方程，类比椭圆标准方程的建立过程，推导双曲线的标准方程。 1. 建系. 1. 类比椭圆标准方程的建立过程，如何求双曲线的标准方程呢? 2. 如何建系?化简？本环节不断刺激学生回顾椭圆的标准方程的推导过程，类比说明双曲线的标准方程推导的关键步骤。体会椭圆与双曲线师生问答 积极评价 3. 为何可令c2?a2?b2？ 4. a和b有没有大小关系？ 5. 椭圆中a和b谁大？ 的的区别与联系，同时强化求曲线方程的一般步骤。 (x?c)?y22 6. 椭圆分焦点在x轴上，和y轴上两种？双曲线是否也有类似情况？ ?(x?c)2?y2??2a 4.化简 7. 焦点在y轴上的双曲线的(x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2acx?a2??a(x?c)2?y2(c2?a2)x2?a2y2?a2(c2?a2)x2y2?22?12ac?a标准方程如何求？
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令c2?a2?b2 x2y2则有2?2?1 ab 学生说明自己的思路，具体推导由学生课后完成。 四、课堂 练习 y2x2??1(a?0,b?0) a2b2x2y2??1(a?0,b?0) a2b2请同学们类比归纳椭圆标准方程和双曲线标准方程的区别和联系. 1.请说出下列方程所表示曲线的焦点位置及a，b x2y2(1)??194x2y2(2)??149x2y2(3)???149方程推导结束后，此时由于椭圆方程，双曲线方程的相似性，不少同学会将二者混淆，且判断焦点位置的方激励为主 快速作答 相互合作 形成共识 法也需要根据实例加以落实，因此故意安排椭圆方程，双曲线方程及变式要学生加以区分巩固。 (4)4x?y?64 学生独立完成，快速口答，相互纠正，教师指导。 2.已知双曲线的焦点在坐标轴上，焦距为20，a=8 ，求双曲线的标准方程. 学生独立完成,教师课堂展示 22检验学生对标准方程基本形式和双曲线定义的理解程度 五、例题讲解 例1 已知双曲线两个焦点分别为F（-5，0），F(5,0),双曲线上一12学生板演，教师巡视检查，选择有代表性的解答多媒体展示，对典型错误进行纠正。 通过练习，检测学生对方法掌握情况。 师生合作完成 点P到F1，2F距离差的绝对值等于 - 5 -
双曲线及其标准方程公开课教学设计
