第三章 矩阵的基本计算程序设计方法
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§3-1 行列式的性质（参见文献[39]P91）
矩阵的基本计算用到了行列式的内容。行列式通常用记号A或detA表示，det的英文单词是：determinant。为后面讨论矩阵计算时方便，下面先叙述行列式的十个主要性质。
1、把行列式的行变为同号数的列，行列式的值不变。即一个行列式与它的转置行列式的值相等。
2、对调行列式的两行（或两列），行列式的符号改变，但绝对值不变。 3、有两行（或两列）相同的行列式的值必等于零。
4、行列式等于它任意一行（或一列）的各元素与对应于它们的代数余子式的乘积的和。 5、行列式某一行（或某一列）的各元素与另一行（或另一列）对应元素的代数余子式的乘积的和恒等于零。
6、行列式的某一行（或某一列）的各元素如果有公因子，这公因子可以提到行列式记号的外面去。
7、如果行列式的某一行（或某一列）的各元素都等于零，则此行列式等于零。
8、如果行列式的第i行（或第i列）的各元素是两个加数的和，则此行列式可表示为两个行列式的和，其中一个行列式的第i行（或第i列）的各元素是上述的一个加数，而另一个行列式的第i行（或第i列）的各元素是另一个加数；在这三个行列式中，其余的各元素完全相同。
9、如果行列式的两行（或两列）的对应元素成比例，则此行列式等于零。
10、把行列式的某一行（或某一列）所有的元素同乘以一个数后，加于另一行（或另一列）的各对应元素上，行列式的值不变。
§3-2 矩阵基本计算的程序设计原理
矩阵的基本计算包括：矩阵的初等变换（行变换或列变换），矩阵的加、减法，矩阵的转置，矩阵乘法的定义及计算方法、代数余子式的定义及计算方法、按照定义式进行矩阵求逆等的编程方法。矩阵的英文单词是matrix。 一、矩阵的基本概念
设有一个线性方程组，例如测量平差中的条件方程：
?a1v1?a2v2????anvn?wa?0?bv?bv????bv?w?0?1122nnb ?
?????????????????r1v1?r2v2????rnvn?wr?0等式的左边由三部分组成，即n个改正数vi，r个改正数的系数，r个闭合差。现在我们将这三种成份按原来排列的次序抽出来，分别组成下面三个表：
?a1??b1????r?1
a2??an??b2??bn?， ?v1??????r2??rn??29
v2?wa????w??vn?， ?b?
????w??r?
这种由一组数排列成矩形的表，就称为矩阵。表中的数称为矩阵的元素。在第一个表中有r行n列元素，该表称为r?n阶矩阵；第二个表只有一行n列元素，称为1?n阶矩阵，或称行矩阵；第三表有r行一列元素，称为r?1阶矩阵，或称列矩阵。 一般地，设有m?n个元素排成矩形的表：
?a11??a21 A?????a?m1a12a22?am2??a1n????a2n?
???????amn??称A为m行n列矩阵，aij称为矩阵A的元素。m行n列矩阵记为m?n阶矩阵。 二、常见的特殊矩阵
1、方阵
当m?n时，矩阵A称为n阶矩阵，或称n阶方阵。方阵A中的元素a11,a22,?,ann称为矩阵A的对角线元素。例如条件平差中法方程组的系数阵，即为方阵。
2、零矩阵
如果某一个矩阵的元素全为零，则称为零矩阵，记为O。测量平差中常见的零矩阵是r?1阶零矩阵，一般也用O表示。即：
?0????0? O???
????0??? 3、对角阵
如果一个n阶方阵除对角线元素外，其余元素全为零，则称其为对角阵，即：
?a11??0 A?????0? 4、单位矩阵
0??a22??0?
??????0??ann??0?? 对于对角阵A，当主对角线元素全为1时，即：a11?a22??ann?1，则称其为单位矩阵，简称单位阵，也称为幺阵，一般用E表示，也有用I表示的。
5、上三角矩阵
对于n阶方阵A，如果当i?j时，aij均为零，则称该矩阵为上三角矩阵。即：
?a11??0 A?????0? 6、下三角矩阵
??a1n??a22??a2n? ??????0??ann??a12对于n阶方阵A，如果当i?j时，aij均为零，则称该矩阵为下三角矩阵。即：
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?a11??a21 A?????a?n10a22?an2??0????0? ???????ann?? 7、行矩阵
对于m?n阶矩阵，若m?1时，则称其为行矩阵，也称为行向量。即： A??a11a12?a1n?
8、列矩阵
对于m?n阶矩阵，若n?1时，则称其为列矩阵，也称为列向量。即：
?a11???a?21? A??
?????a??m1? 9、对称方阵
对于n阶方阵A：
?a11??a21 A?????a?n1a12a22?an2??a1n????a2n?
???????ann???ann两侧的元素对称相等，若主对角线元素a11，a22，即aij?aji，则称A为n阶对称方阵。
三、矩阵的基本计算
矩阵和行列式有本质的区别，属于两个不同的概念。行列式本身代表一个数，而矩阵仅
仅是一组数排列成的表，它只说明表中各元素的排列位置，但矩阵的整体可以参与运算。下面介绍矩阵的基本计算规则。 ㈠、矩阵的相等
设有两个同阶矩阵A?(aij)和B?(bij)，如果它们的对应元素相等，即：aij?bij，则矩阵A和B称为相等。 ㈡、矩阵的加、减法
1、如果矩阵A?(aij)和B?(bij)是同阶矩阵，则矩阵A与B是可加减的。将两个同阶矩阵中对应元素求和差，称为矩阵的加减法。即：
?a11?b11??a21?b21 A?B??????a?bm1?m1
a12?b12a22?b22??am2?bm229
??a1n?b1n????a2n?b2n? ????????amn?bmn??
若令aij?bij?cij，C?(cij)，则矩阵： C?A?B
可见矩阵C必与A、B同阶。
2、一个常数与一个矩阵相乘的定义及计算方法
常数?与某矩阵A相乘所得之矩阵B，其元素就是常数?与矩阵A中各个元素之乘积。即：
???a11??a12????a21??a22 B???A?A??????????a??am2m1? 3、矩阵加减法运算的基本性质
⑴、可结合性：A?(B?C)?(A?B)?C
????a1n??????a2n? ?????????amn??⑵、可交换性：A?B?B?A
⑶、A?O?A （式中O为与A同阶的零矩阵）
⑷、(???)A???A???A （式中A为矩阵，?、?是常数） ⑸、?(A?B)???A???B （式中A、B为矩阵，?是常数）
㈢、矩阵的转置
1、设A是m?n阶矩阵，将A的行与列依次对换，得n?m阶矩阵，称为A的转置矩阵，并记为A?，或记为A。即：
T?a11??a21 A?????a?m1 2、转置矩阵的性质
a12a22?am2??a1n??a11????a2n??a12T A???????????a??amn??1na21??am1??a22??am2? ??????a2n??anm?? ⑴、将矩阵进行两次转置即得原矩阵，即：(A)?A。
⑵、(A?B)?A?B
⑶、(??A)???A （式中A为矩阵，?是常数） ⑷、(A?B)?B?A
⑸、对角阵的转置矩阵，仍为对角阵，且与原对角阵相等。 ⑹、若A?A，则A为对称矩阵。
TTTTTTTTTTT㈣、矩阵相乘的定义及计算方法
1、两个矩阵相乘的定义及计算方法 设矩阵A的列数等于矩阵B的行数：
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测绘程序设计教案VB版第三章
