2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题
2008年5月18日(14：30一16：30)
一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)
1. 设集合A?xx2?x?6?0,且x?Z，则集合A的非空真子集的个数为 （ ）
（A）13
（B） 14 （C） 15 （D） 16
??2. 在公差为4的正项等差数列中，a3与2的算术平均值等于S3与2的几何平均值，其中S3表示数列
的前三项和，则a10为 （ ）
（A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 44
3. 某学校的课外数学小组有8个男生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代
表队包含男女各2人的概率为 （ ）
10306070 （B） （C） （D） 1431431431434. 设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体
积为 （ ） （A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
??x2y25. 已知椭圆??1的左顶点为A1，右焦点为F2，点P为椭圆上的一点，则当PA1?PF2取最小值
43（A）
的时候，PA1?PF2的值为 （ ） （A）22 （B）3
（C） 5
（D）
??13 sin3?cos3?6. 设??(0,)则的最小值为 （ ） ?cos?sin?2273（A） （B）2 （C） 1
564二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）
? （D）53 67. 函数f(x)?x?1?x?3?x?5?x?7的最小值为__________________ .
8. 函数f(x)对任意的x满足f(x?3)??11，且f(1)?，则f(2008)＝______________________. f(x)29. 设数列{an}满足：an?(2n?1)(2n?1)(2n?3)，则a1,a2,L,a2008的最大公约数d为
________________ .
10. 已知正实数x,y满足x?2y?4，则
11?的最小值为__________________ . xy1 4 7 2 5 8 3 6 9 11. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为1,2,L,9的9个小正方形（如图），
使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号
数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 _______ 种。
?an?1?bn?2ana12. 数列{an}、{bn}满足：a1?1,b1?7，且?，则limn＝_________.
n??b?bn?1?3bn?4ann三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）
L3513. 是否存在一个二次函数f(x)，使得对任意的正整数k，当x?5512k个5AL35成立？请给出结论，并加以证明． 时，都有f(x)?55122k个5BCF
14. 设F是抛物线y2?4x的焦点，橙子奥数欢迎您，A、B为抛物线上
uuuruuur异于原点O的两点，且满足FA?FB?0．延长AF、BF分别交抛物
线于点C、D（如图）．求四边形ABCD面积的最小值．
15. 已知⊙O与?ABC的边AB、AC分别相切于P和Q，与?ABC外接圆
相切于D，M是PQ的中点（如图）．求证：?POQ?2?MDC．
16. 已知1?ai?7，i?1,2,L,n，其中正整数n?2． （1）求证：对于一切的正整数i，都
PADMOQCD112??； ai2?17?ai23B（2）求S??i?1n1（a?1)(7?a)2i2i?1的最小值，其中约定an?1?a1．
2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各 题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时 可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)
1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C 二、填空题（本大题满分30分，每小题5分） 7、8 8、?2 9、3 10、三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）
3?221 11、108 12、 44L35时，都 13、是否存在一个二次函数f(x)，使得对任意的正整数k，当x?5512k个5L35成立？请给出结论，并加以证明． 有f(x)?55122k个5解：存在符合条件的二次函数． …5分 设f(x)?ax2?bx?c，则当k?1,2,3时有：f(5)?25a?5b?c?55 ①；
f(55)?3025a?55b?c?5555 ②；f(555)?308025a?555b?c?555555③．
959下面证明：二次函数f(x)?x2?2x符合条件．
5联立①、②、③，解得a?,b?2,c?0．于是，f(x)?92x?2x．10分 55kk?1L5?（51?10?100?L?10)?(10?1)， 因为551239k个552kL5?(10?1)； …15分 同理：5512392k个55955f(55L5)?f((10k?1))?[(10k?1)]2?2?(10k?1) 1239599k个55555L35． ?(10k?1)2?2?(10k?1)?(10k?1)(10k?1)?(102k?1)?551299992k个5所以，所求的二次函数f(x)?92x?2x符合条件． ……20分 5
uuuruuur14、设F是抛物线y?4x的焦点，A、B为抛物线上异于原点O的两点，且满足FA?FB?0．延长
2．求四边形ABCD面积的最小值． AF、BF分别交抛物线于点C、D（如图）
解：设A（x1,y1)、C(x2,y2)，由题设知，直线AC的斜率存在，设为k．
BA因直线AC过焦点F(1,0)，所以，直线AC的方程为y?k(x?1)．
CF?y?k(x?1)联立方程组?2，消y得k2x2?2(k2?2)x?k2?0
?y?4xD2k2?4由根与系数的关系知：x1?x2?，x1x2?1 ……52k分
于是 |AC|?（x1?x2)2?（y1?y2)2?1?k2（x1?x2)2?4x1x2
?1?k2?2k2?4?4(1?k2) ……10分 ???4?22kk??2又因为AC?BD，所以直线BD的斜率为?1， k从而直线BD的方程为：y??(x?1)，同理可得 |BD|?4(1?k2)．……15分 故SABCD1k18(1?k2)212?|AB|?|CD|??8(k??2)?8?(2?2)?32 2k2k2当k??1时等号成立．所以，四边形ABCD的最小面积为32． ……20分
15、已知⊙O与?ABC的边AB、AC分别相切于P和Q，与?ABC外接圆相切于D，M是PQ的中点（如图）．橙子奥数工作室欢迎您．求证：?POQ?2?MDC．
A证明：如图，连结AO、AD、DO和DQ． ∵ AP、AQ分别与⊙O相切于P、Q ∴ AP?AQ
∵OP和OQ都是⊙O的半径，
PMODBQCK?APO??AQO?90 ……5分
∴ 由对称性知?POQ?2?AOQ，且OA?PQ于M． ∴ OD2?OQ2?OM?OA，即
oODOA ……10分 ?OMOD又∵?DOM??AOD，∴?DOM∽?AOD
∴ ?ODM??OAD ……15分
过D作两圆的公切线DE，则?CDE??CAD 又∵OD?DE，即?ODE?90o
∴ ?MDC?90o??ODM??COE?90o??OAD??DAC ?90o??OAQ??AOQ
故?POQ?2?MDC． ……20分
16、已知1?ai?7，i?1,2,L,n，其中正整数n?2． （1）求证：对于一切的正整数i，都有
112a21?7?a2?； i?i3n（2）求S??1a1．
i?1（a2的最小值，其中约定?1)(7?a2an?1?ii?1)（1）证明：对于一切的正整数i，
1166a2?1?7?a2?2??2．5分 ii(ai?1)(7?a2i)??a2i?1?7?a2i?23?2??n2（2）由Cauchy不等式知S??1?nni?1（a2?1)(7?a2ii?1)?(a2i?1)(7?a2i?1)i?1 ?n2n2n?n(a2?1)?(7?a2?n?a2? ……15分 ii?1)a2ii?13i?12?（?3）i?12当a1?a2?L?ann?2时，等于成立，所以S有最小值3．…20分
2008年全国高中数学联赛一试试题
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数在上的最小值
是 （C ）
A．0 B．1 C．2 2．设，，若，则实数的取值范围为 A． B． C． ……10分
（ ）D．D．3
全国高中数学竞赛试卷及答案
