1.1.1 不等式的基本性质（1）
课堂导学
三点剖析
一、不等式性质的应用
【例1】 已知a>b,c
∴(a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c)>0. ∴a-c>b-d.
证法二：∵c
证法一利用了实数大小比较的符号法则,也称作差法,这是证明不等式的基本方法,不等式性质定理的证明也是用此法.
证法二是直接利用了不等式性质定理,即同向不等式的可加性.不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论依据,应正确地熟练应用. 各个击破 类题演练1
22
若a>b>0,求证:a>ab>b. 证明:∵a>b,∴a-b>0. 又∵a>0,∴a(a-b)>0. 22
∴a-ab>0.∴a>ab. 又∵a>b,∴a-b>0. 又b>0,∴b(a-b)>0.
22
∴ab-b>0.∴ab>b.
22
据不等式的传递性,即a>ab>b. 变式提升1
acaa?cc?,求证:??. bdbb?ddac+
证明:∵a,b,c,d∈R,且?,
bdacad?bc∴??<0. bdbd若a,b,c,d∈R,且
+
∴ad-bc<0. 由
a?cabc?ada?ca???. >0,可得b?dbb(b?d)b?dba?ccad?bca?cc???. <0,可得b?ddd(b?d)b?dd又∵
∴
aa?cc??成立. bb?dd1
二、实数大小比较的方法——作差法
b2a2?【例2】 设a>0,b>0,求证:≥a+b. abb2a2?-(a+b) 证明：ab(a?b)(a2?ab?b2)=.
ab(a?b)(a?b)2=
ab∵a>0,b>0,∴a+b>0,ab>0,(a-b)≥0.
2
b2a2?≥a+b. ∴ab温馨提示
作差法是比较两个实数大小的重要方法,利用作差法比较两个实数的大小,一般有如下步骤:
第一步:作差;
第二步:变形.常采用因式分解,配方等恒等变形手段,将“差”化成“积”; 第三步:定号.就是确定是大于0,等于0,还是小于0. 最后得出结论.
概括为“三步一结论”,这里的“定号”是目的,“变形”是关键. 类题演练2
已知a≥1,比较M=a?1?a与N=a?a?1的大小. 解析:M-N=(a?1?a)-(a?a?1)
=
1a?1?a?1a?a?1a?1,
?a?1?a?1(a?1?a)(a?a?1).
∵a≥1,∴a?1?即a?1?a?1<0. 又a?1?a?0,a?a?1>0,
∴M-N<0,即M 642 比较x+1与x+x的大小,其中x∈R. 642642422 解析:(x+1)-(x+x)=x-x-x+1=x(x-1)-(x-1) 24222222 =(x-1)(x-1)=(x-1)(x-1)(x+1)=(x-1)(x+1), 2 当x=±1时,x+1=x+x, 642 当x≠±1时,x+1>x+x. 三、应用不等式性质解题常见错误剖析 【例3】 已知0 642 12 ,a的大小. a1a2?1(a?1)(a?1)?错解：∵a-=<0, aaa∴a< 1. a121?a3(1?a)(1?a?a2)?又-a=>0, aaa1221>a.∴a aa121错因：a<与a<之间不具备传递性,不能用性质2. aa1(a?1)(a?1)正解：∵a-=<0, aa1∴a<. a∴ 又a-a=a(1-a)>0, ∴a>a.∴a 2 2 2 1. a温馨提示 由于对不等式的性质缺乏全面掌握和透彻理解,尤其对一些性质的条件重视不够或机械地套用性质而扩大性质的范围,从而导致错误.因此,在使用不等式性质解题时,要搞清性质成立的条件,明确各步推理的依据,以防出现解题失误. 类题演练3 11n 和B=a+的大小. nmaa1111mnmn 错解:∵A-B=(a+m)-(a+n)=(a-a)+(m-n), aaaa11mn 又∵m>n>0,∴a>a,m>n.∴A>B. aa11mn 正解:A-B=(a-a)+（m-n) aa已知a>0,a≠1,m>n>0,比较A=a+ m (am?an)(am?n?1)=. m?na故当0 mnm+n 当a>1时,a>a,a>1, ∴A-B>0,即A>B. 3 m n m+n
高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式 1.1 不等式 1.
