分离常数法与分离参数法
分离常数法是研究分式函数的一种代数变形的常用方法，主要的分式函数有
ax?bm?ax?nax2?bx?c，m?sinx?n 等.解题的关键是通过恒等，，y?y?y?y?xp?a?qcx?dmx2?nx?pp?sinx?q变形从分式函数中分离出常数.
1.用分离常数法求分式函数的值域
例1 求函数f(x)?3x?1(x?1)的值域.
x?2解 由已知有f(x)?3[(x?2)?2]?1?3(x?2)?7?3?7.
x?2x?2x?2由x?1，得x?2??1.∴?1?1?0. x?2∴函数f(x)的值域为{y?R|?4?y?3}. 2.用分离常数法判断分式函数的单调性
例2 已知函数f(x)?x?a(a?b)，判断函数f(x)的单调性.
x?b解 由已知有y?(x?b)?a?b?1?a?b，x??b.
x?bx?b所以，当a?b?0时，函数f(x)在(??,?b)和(?b,??)上是减函数；当a?b?0时，函数f(x)在(??,?b)和(?b,??)上是增函数.
3.用分离常数法求分式函数的最值
x2?7x?10例3 设x??1，求函数f(x)?的最小值.
x?1解 ∵x??1，∴x?1?0. 由已知有
2[(x?1)?1]2?7[(x?1)?1]?10(x?1)?5(x?1)?44?f(x)??[(x?1)?]?5x?1x?1x?1?2(x?1)44，即x?1时，等号成立. ?5?9.当且仅当x?1?x?1x?1∴当x?1时，f(x)取得最小值9.
分离参数法
分离参数法是求参数的取值范围的一种常用方法，通过分离参数，用函数观点讨论主变量的变化情况，由此我们可以确定参数的变化范围.这种方法可以避免分类讨论的麻烦，从而使问题得以顺利解决.分离参数法在解决有关不等式恒成立、不等式有解、函数有零点、函数单调性中参数的取值范围问题时经常用到. 解题的关键是分离出参数之后将原问题转化为求函数的最值或值域问题.
1.用分离参数法解决函数有零点问题
例4 已知函数g(x)?x2?ax?4在[2,4]上有零点，求a的取值范围.
解 ∵函数g(x)?x2?ax?4在[2,4]上有零点，∴方程x2?ax?4?0在[2,4]上有实根，即方程a?x?4在[2,4]上有实根.
x4，则a的取值范围等于函数f(x)在[2,4]上的值域. x4(x?2)(x?2)又f?(x)?1?2?∴f(x)在[2,4]上是增?0在x?[2,4]上恒成立，2xx令f(x)?x?函数.
∴f(2)?f(x)?f(4)，即4?f(x)?5.∴4?a?5. 2.用分离参数法解决函数单调性问题
2例5 已知f(x)?2x?ax?2a在[1,??)上是单调递增函数，求a的取值范围.
2xaa解 ∵f(x)?x??，∴f?(x)?1?a2.
x2x又f(x)在[1,??)上是单调递增函数，∴f?(x)?0.于是可得不等式a??x2对于x?1恒成立.∴a?(?x2)max.
由x?1，得?x2??1.∴a??1. 3.用分离参数法解决不等式恒成立问题
例6 已知不等式mx2?2x?m?1?0对满足?2?m?2的所有m都成立，求
x的取值范围.
解 原不等式可化为(x2?1)m?2x?1?0，此不等式对?2?m?2恒成立. 构造函数f(m)?(x2?1)m?2x?1，?2?m?2，其图像是一条线段.
2?f(?2)??2(x2?1)?2x?1?0?2x??根据题意有?，即??2x?3?0.解得
22???f(2)?2(x?1)?2x?1?0?2x?2x?1?0?1?71?3. ?x?224.用分离参数法解决不等式有解问题
例7 如果关于x的不等式x?3?x?4?2a?1?0的解集不是空集，求参数a的取值范围.
解 原不等式可化为x?3?x?4?2a?1.
∵原不等式的解集不是空集，∴(x?3?x?4)min?2a?1.
又x?3?x?4?(x?3)?(x?4)?1，当且仅当(x?3)(x?4)?0时，等号成立，∴2a?1?1，即a?1.
5.用分离参数法求定点的坐标
例8 已知直线l：(2m?1)x?(m?1)y?7m?4?0，m?R，求证：直线l恒过定点.
解 直线l的方程可化为x?y?4?m(2x?y?7)?0.
x?y?4?0?M(3,1). 设直线l恒过定点M(x,y).由m?R，得???2x?y?7?0∴直线l恒过定点(3,1).
方法总结-分离常数法与分离参数法 - 图文
