专题：解析几何中的动点轨迹问题
Part 1 几类动点轨迹问题
一、动线段定比分点的轨迹
例1 已知线段AB的长为5，并且它的两个端点A、B分别在x轴和y轴上滑动，点P
????????在段AB上，AP??PB(??0)，求点P的轨迹。
例2 已知定点A(3,1),动点B在圆Ox2?y2?4上,点P在线段AB上,且BP:PA=1:2,求点P的轨迹的方程.
二、两条动直线的交点问题
例3 已知两点P（-1,3），Q（1,3）以及一条直线l:y?x，设长为2的线段AB在l上移动（点A在B的左下方），求直线PA、QB交点M的轨迹的方程
x2y2例4 已知A1、A2是双曲线2?2?1(a?0,b?0)的两个顶点，线段MN为垂直于实轴
ab的弦，求直线MA1与NA2的交点P的轨迹
三、动圆圆心轨迹问题
例5 已知动圆M与定圆x2?y2?16相切，并且与x轴也相切，求动圆圆心M的轨迹
例6 已知圆C1:(x?3)2?y2?4，C2:(x?3)2?y2?100，圆M与圆C1和圆C2都相切，求动圆圆心M的轨迹
四、动圆锥曲线中相关点的轨迹
例7 已知双曲线过A(?3,0)和B(3,0)，它的一个焦点是F1(0,?4)，求它的另一个焦点F2的轨迹
例8 已知圆的方程为x2?y2?4，动抛物线过点A(?1,0)和B(1,0)，且以圆的切线为准线，求抛物线的焦点F的轨迹方程
Part 2 求动点轨迹的十类方法
一、直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式、点到直线的距离公式、直线的斜率公式、切线长公式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。过程是“建系设点，列出几何等式，坐标代换，化简整理”，主要用于动点具有的几何条件比较明显时。
例1 已知动点M到定点A（1，0）与到定直线L：x=3的距离之和等于4，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？
Y
M N A O x
22例2 已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x?y?1，动点M到圆C的切
MQ的比等于常数????0?，求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线．
线长与
二、定义法
圆锥曲线是解析几何中研究曲线和方程的典型问题，当动点符合圆锥曲线定义时，可直接写出其轨迹方程。此法一般用于求圆锥曲线的方程，在高考中常填空题的形式出现．
例3 在相距离1400米的A、B两哨所上，哨兵听到炮弹爆炸声的时间相差3秒，已知声速是340米/秒，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？
22(x?2)?y?4外切且与直线x=2相切，则动圆圆心的轨迹方程例4 若动圆与圆
是_____________________
2222例5 一动圆与两圆x?y?1和x?y?8x?12?0都外切，则动圆圆心轨迹为
（ ）
（A）抛物线 （B）圆 （C）双曲线的一支 （D）椭圆 三、转移法（重中之重）
若轨迹点P（x ,y）依赖于某一已知曲线上的动点Q（x0, y0），则可先列出关于x、y, x0、y0的方程组，利用x、y表示出x0、y0，把x0、y0 代入已知曲线方程便得动点P的轨迹方程。一般用于两个或两个以上动点的情况。 例6 已知P是以F1、F2为焦点的双曲线轨迹方程。
2y 例7 已知抛物线?x?1，定点A（3，1），B为抛物线上任意一点，点P在线段
x2y2??1上的动点，求169ΔF1F2P的重心G的
AB上，且有BP:PA=1:2，当点B在抛物线上变动时，求点P的轨迹方程，并指出这个
轨迹为哪种曲线．
四、点差法
圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点A（x1,y1），B（x2,y2）的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得x1+x2, y1+y2, x1-x2, y1-y2 等关系式，由于弦AB的中点P（x, y）的坐标满足2x= x1+x2, 2y=
y?yy1+y2且直线AB的斜率为21，由此可求得弦AB的中点的轨迹方程。
x2?x1 例8 已知以P（2，2）为圆心的圆与椭圆x2+2y2=m交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。
五、几何法
运用平面几何的知识如平几中的5个基本轨迹、角平分线性质、圆中垂径定理等分析轨迹形成的条件，求得轨迹方程。
例9 如图，给出定点A（a,0）(a>0)和直线L：x=－1, B是直线L上的动点，∠BOA的平分线交AB于点C，求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系。
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