第三章：圆
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合（平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图像叫做圆；
2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 轨迹形式的概念：
圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；
圆的对称性：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线 圆弧（简称：弧）：圆上任意两点的部分
弦：连接圆上任意两点的线段（经过圆心的弦叫做直径）
如图所示，以A，B为端点的弧记做AB，读作：“圆弧AB”或者“弧AB”；线段AB是⊙O的一条弦，弦CD是⊙
O的一条直径；
【典型例题】
例1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）．
A．4个 B．3个 C． 2个 D． 1个
例2．点P到⊙O上的最近距离为3cm，最远距离为5cm，则⊙O的半径为 cm． 二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内； 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外；
三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；
ArBdCdOrdd=rrd
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四、圆与圆的位置关系
考查形式：考查两圆的位置关系与数量关系（圆心距与两圆的半径）的对应，常以填空题或选择题的形式出现．题目常与图案、方程、坐标等进行综合
外离（图1）? 无交点 ? d?R?r； 外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r； 相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r； 内含（图5）? 无交点 ? d?R?r；
dR图1rRdr图2dR图3r
d
图4RrdrR图5例、1、若两圆相切，且两圆的半径分别是2，3，则这两个圆的圆心距是（ ）
A. 5 B. 1 C. 1或5 D. 1或4
2、若两圆半径分别为R和r（R＞r），圆心距为d，且R＋d－r＝2Rd，则两圆的位置关系是（ ）
A. 内切 B. 外切 C. 内切或外切 D. 相交
3. 若半径分别为6和4的两圆相切，则两圆的圆心距d的值是_______________ 。
【变式训练】
1、⊙O1 和⊙O2 的半径分别为1和4，圆心距O1O2＝5，那么两圆的位置关系是（ ） A. 外离 B. 内含 C. 外切 D. 外离或内含
2、如果半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切，且半径为3cm的圆的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
3、已知：⊙O1和⊙O2的半径是方程x－5x＋6＝0 的两个根，且两圆的圆心距等于5则⊙O1和⊙O2的位置关系是（ ）
A. 相交 B. 外离 C. 外切 D. 内切
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2
2
2
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二、填空题
4. ⑴⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为4cm，圆心距为6cm，则⊙O2的半径为__________; ⑵⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的半径为6cm，圆心距为4cm，则⊙O2的半径为__________
5.⊙O1、⊙O2和⊙O3是三个半径为1的等圆，且圆心在同一直线上，若⊙O2分别与⊙O1，⊙O3相交，⊙O1与⊙O3不相交，则⊙O1与⊙O3圆心距 d的取值范围是_____。
五、垂径定理
考查形式：主要考查借助垂径定理的解决半径、弧、弦、弦心距之间的计算和证明，填空题、选择题或解答题中都经常出现它的身影．解决是应注意作出垂直于弦的半径或弦心距，构造直角三角形进行解决． A垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
CBOED 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论1：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
CDOAB 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD
例1、如图23-10，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么AE的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
例2、如图，⊙O的直径为10厘米，弦AB的长为6cm，M是弦AB上异于A、B的一动点，则线段OM的长的取值范围是（ ）
A. 3≤OM≤5 B. 4≤OM≤5 C. 3＜OM＜5 D. 4＜OM＜5
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O A M B 知人善教 培养品质 引发成长动力
例3、如图，在⊙O中，有折线OABC，其中OA?8，AB?12，?A??B?60?，则弦BC的长为（ ）。
Ａ．19 Ｂ．16 Ｃ．18 Ｄ．20
【变式训练】 1、“圆材埋壁”是我国古代《九章算术》中的问题：“今有
圆材，埋在壁冲，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺， 间径几何”．用数学语言可表述为如图，CD为⊙O的直径，弦 AB⊥CD于点E，CE＝1寸，AB=10寸，则直径CD的长为（ ） A．12．5寸 B．13寸 C．25寸 D．26寸
ACEOFB
2、在直径为52cm的圆柱形油桶内装入一些油后，截面如图23-16所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度为_________cm．
3、如图23-14，⊙O的直径为10，弦AB＝8，P是弦AB上一个动点，那么OP的长的取值范围是_________．
4、⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB和CD的距离为( )
A．2cm
C．2cm或14cm
B．14cm
D．10cm或20cm
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六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
OEFDAC只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①?AOB??DOE；②AB?DE；
③OC?OF；④ 弧BA?弧DE 七、圆周角定理
CB1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角
BOA∴?AOB?2?ACB
2、圆周角定理的推论：
DC推论1：在同圆或者等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等； 即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角
BOAC ∴?C??D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径（90的圆周角所对的弦是直径）；
B即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径
例1、如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠BAC=30°
则∠BOC的大小是（ ）
○ ○○ ○
A．60B．45 C．30D．15
OA
○
2、如图，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60 ，AC＝3， 则△ABC的周长是____________.
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初三上学期圆知识点和典型基础例题复习
