1.2.2同角的三角函数的基本关系
一、求角的正弦值、余弦值、正切值
这类问题是已知某角的某个函数值，求该角的其它函数值.
例1 已知cos α＝－3
5，求sin α，tan α的值．
【分析】讨论α分别在第二、三象限求值
.
【解】
∵cos α<0且cos α≠－1，
∴α是第二或第三象限角．当α为第二象限角时，sin α＝1－cos2α＝1－
－
352＝4
5
，tan α＝
sin α＝－4
cos α3
.
当α为第三象限角时，sin α＝－
1－cos2α＝－
1－
－3452＝－5
，
tan α＝sin αcos α＝4
3.
【点评】已知角α的某一三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选
择；若角所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角所在的象限不确定，应分类讨论
.
二、三角函数式的化简与求值
所谓化简，就是使表达式经过某种变形，使结果尽可能的简单，也就是项数尽可能的少，次数尽可能的低，函数的种类尽可能的少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的要求值例2 (1)
化简
1－2sin10°cos10°sin10°－
1－sin210°
；
(2)已知tanα＝－2，求下列各式的值：①4sinα－2cosα5cosα＋3sinα；②12
4sin2α＋5
cos2α. 【分析】对（1）把被开方数变形为平方形式.（2）把弦化为“切”的形式
.
【解】
(1)
1－2sin10°cos10°sin10°－
1－sin210°
＝＝
|cos10°－sin10°｜sin10°－cos10°＝
cos10°－sin10°sin10°－cos10°＝－1.
(2)法一：由tanα＝－2，得sinα＝－2cosα. ①
4sinα－2cosα5cosα＋3sinα
＝
－8cosα－2cosα5cosα－6cosα
＝10.
.
- 1 -
12
②sin2α＋cos2α＝45sin2α＋cos2α2
cos2α＋cos2α
54cos2α＋cos2α
725
12
sin2α＋cos2α45
＝＝.
法二：∵tanα＝－2，∴cosα≠0.4sinα－2cosα4tanα－2
①＝＝5cosα＋3sinα5＋3tanα
1
2
4×－2－25＋3×－
2＝10.
12
②sin2α＋cos2α＝45sin2α＋cos2α12tan2α＋45
sin2α＋cos2α
45
7
＝＝. tan2α＋125【点评】法一利用已知条件将就是式子中的每一项都是关于分母同除以
sinα全部化为cosα，从而得到各式的值，可以说是运用了“减
sinα,cosα的齐次式（所谓关于
sinα、cosα的齐次式
n次）分子
sinα、cosα的式子且它们的次数之和相同，设为
α+cos2α”．
.
少变量”的思想.而法二是将关于
cosα的n次幂，其式子可化为关于tanα的式子，根据已知条件再解决所求问
题就简单得多.同时，要注意“1”的代换，如“1=sin2三、证明三角关系式
三角关系式的证明就是由三角关系的化简推导出等式是成立的例3 求证：
tanα·sinαtanα－sinα
＝
tanα＋sinαtanα·sinα
.
【分析】可由右向左证，也可由左向右证，也可两边同时切化为弦来证明，或者可证明sin2α·tan2α=tan2α-sin2α成立. 【证明】＝
法一：右边＝
tan
tan2α－sin2α
α－sinα·tanα·sinα
tan2α－tan2αcos2αtan
α－sinα·tan
αsinα
tan2α1－cos2α
＝
tanα－sinαtanαsinα＝
tan2αsin2α
tan
α－sinαtan
αsinα
＝
tanαsinαtanα－sinαsinα1－cosα
＝左边，
∴原等式成立．法二：左边＝
tanα·sinαtanα－tanαcosα
＝
，
tanα＋tanαcosα1＋cosα
右边＝＝
tanαsinαsinα＝
1－cos2αsinα1
－cosα
＝
sin2αsinα1
－cosα
＝
sinα1－cosα
，
∴左边＝右边，原等式成立．
法三：∵tanα－sinα≠0，tanα·sinα≠0，要证原等式成立，
- 2 -
只要证tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立．而tan2α·sin2α＝tan2α(1－cos2α) ＝tan2α－(tanαcosα)2＝tan2α－sin2α，
即tan2α·sin2α＝tan2α－sin2α成立，∴原等式成立．
- 3 -
高中数学必修四1.2.2同角三角函数的基本关系素材2新人教A版必修4
