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（新高考）2020年高三最新信息卷
数 学（二）
注意事项：
号1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 位封座己的姓名、考生号填写在答题卡上。
2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑， 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在试卷上无效。
3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。 密 4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
号场第Ⅰ卷
不考 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的．
1．复数z满足(1?3i)2订?zi（i为虚数单位），则复数z的共轭复数是（ ） A．6?8i B．?6?8i
C．6?8i
D．?6?8i
【答案】A
装 号证【解析】易知z?(1?3i)2i??8?6ii?6?8i，所以复数z的共轭复数z?6?8i，故选A． 考准m1 只 2．已知m>1，a?log?1?1m，b???，c?m2，则（ ）
2?2? A． a?b?c B．a?c?b
C．b?a?c
D．b?c?a
【答案】A
卷 【解析】当m>1时，由对应函数的单调性可知，
名m1m1姓a?log?log???1??1?1?1?1m11?0，b 22?2?????2???2且b???2???0，c?m2?1，
此 排序得a?b?c，故选A．
3．P是直线x?y?2?0上的一动点，过点P向圆C:(x?2)2?(y?8)2?4引切线，则切线长的 级最小值为（ ） 班A．22 B．23 C．2
D．22?2
【答案】C
【解析】∵圆C:(x?2)2?(y?8)2?4，∴圆心C??2,8?，半径r=2，
由题意可知，点P到圆C:(x?2)2?(y?8)2?4的切线长最小时，
CP?直线x?y?2?0，
∵圆心到直线的距离d??2?8?22?22，∴切线长的最小值为?22?2?4?2，
故选C．
4．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ）
A．
54钱 B．
43钱 C．
32钱 D．
53钱 【答案】B
【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a?2d，a?d，a，a?d，a?2d， 则a?2d?a?d?a?a?d?a?2d，解得a??6d， 又a?2d?a?d?a?a?d?a?2d?5，\\a=1， 则a?2d?a?2?????a?6???43a?43，故选B． 5．函数f?x??cosx?sin??3x??1?3x??的图象大致为（ ） A．
B．
C． D．
【答案】C
【解析】由f?1??cos1?sin83?0，可排除A，D； 又f??x??cos(?x)?sin??3?x??1?3?x???cosx?sin??1?3x?3x?????f?x?， 1
f?x?为奇函数，可排除B，故选C．
6．已知在△ABC中，?A?90?，AB?AC?42，动点P自点C出发沿线段CB运动，到达点B时停止运动，动点Q自点B出发沿线段BC运动，到达点C时停止运动，且动点Q的速度是
动点P的2倍，若二者同时出发，且一个点停止运动时，另一个点也停止，则当uAPuur?uAQuur取最大值时，|uPQuur|?（ ）
A．2 B．1
C．
213 D．
2 【答案】B
【解析】Q?A?90?，?uABuur?uACuur?0，依题意知BC?8，2|uCPuur|?|uBQuur|，
uAPuur?uAQuur?(uACuur?uCPuur)?(uABuur?uBQuur)?uACuur?uABuur?uACuur?uBQuur?uCPuur?uABuur?uCPuur?uBQuur?42?2|uCPuur|cos45??42?|uCPuur|cos45??2|uCPuur|2??2(|uCPuur|?3)2?18，
?当|uCPuur|?3时，uAPuur?uAQuur取得最大值，此时|uuuBQr|?6， ?|uPQuur|?3?6?8?1，故选B．
7．已知函数f?x??sin???π??x?6?????0?在区间?0,π?上有且仅有2个最小值点，下列判断：①f?x?在?0,π?上有2个最大值点；②f?x?在?0,π?上最少3个零点，最多4个零点；③
?????3,33?7??；④f?x?在??5π??0,33??上单调递减．其中所有正确判断的序号是（ ）
A．④
B．③④
C．②③④
D．①②③
【答案】A
【解析】Qf?x??sin???π??x?6?????0?是定义域为?0,π?，
???ππ?7π6?????x?6?????6，
Qf?x?在?0,π?上有且仅有2个最小值点，
????π3π??6?2，解得3??7π7?π11π??337，故③错误；
??2?6?2
当??3.1时，由??π?π?7π3.1π?π?21.7π6????x?6?????6，可得6????x?6???6，
由图象可知此时有1个最大值，故①错误； 当??337时，由??π6????π?7π11π?x?6?????6，可得14?????x?π?6???11π2，
由图象可知此时有5零点，故②错误； 当3???337时，可得???π??π3π??x?6?????2,2??，
?f(x)此时单调减函数，故④正确，
综上所述，正确④，故选A．
8．已知集合A??xx2?x?2?0?，B??x1?2x?8?，则（ ）
A．AIB?(2,3)
B．AIB?(0,3) C．AUB?(??,3) D．AUB?(?1,3)
【答案】D
【解析】因为A??xx2?x?2?0??(?1,2)，B??x1?2x?8??(0,3)， 所以AIB?(0,2)，AUB?(?1,3)， 故选D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知?、?是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（ ） A．若m??，m//n，n??，则???
2
B．若?//?，m??，n??，则m//n C．若?//?，m??，n??，则m//n D．若???，m??，?I??n，m?n，则m??
【答案】ABD
【解析】由m??，m//n，得n??，又由n??，得???，A正确； 由?//?，m??，得m??，又由n??，得m//n，B正确； 若?//?，m??，n??，m,n可能平行也可能是异面直线，C错误； 由面面垂直的性质定理知D正确， 故选ABD．
10．2019年以来，世界经济和贸易增长放缓，中美经贸摩擦影响持续显现，我国对外贸易仍然表现出很强的韧性．今年以来，商务部会同各省市全面贯彻落实稳外贸决策部署，出台了一系列政策举措，全力营造法治化、国际化、便利化的营商环境，不断提高贸易便利化水平，外贸稳规模、提质量、转动力取得阶段性成效，进出口保持稳中提质的发展势头，下图是某省近五年进出口情况统计图，下列描述正确的是（ ）
A．这五年，2015年出口额最少 B．这五年，出口总额比进口总额多 C．这五年，出口增速前四年逐年下降 D．这五年，2019年进口增速最快
【答案】ABD
【解析】对于选项A，观察5个白色条形图可知，这五年中2015年出口额最少，故A正确； 对于选项B，观察五组条形图可得，2015年出口额比进口额稍低，
但2016年至2019年出口额都高于进口额，并且2017年和2018年出口额都明显高于进口额， 故这五年，出口总额比进口总额多，故B正确；
对于选项C，观察虚线折线图可知，2015年到2016年出口增速是上升的，故C错误；
对于选项D，从图中可知，实线折线图2019年是最高的，即2019年进口增速最快，故D正确，
故选ABD．
11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名．他发现:“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值????1?的点的轨迹是圆”
．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系xOy中，A??2,0?，B?4,0?，点P满足PA1PB?2．设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ） A．C的方程为?x?4?2?y2?9
B．在x轴上存在异于A,B的两定点D,E，使得
PDPE?12 C．当A,B,P三点不共线时，射线PO是?APB的平分线 D．在C上存在点M，使得MO?2|MA| 【答案】BC
【解析】设点P?x,y?，则PA?x?2?2?y2PB?12=?，化简整理得x?4?2?y2x2?y2?8x?0，
即?x?4?2?y2?16，故A错误； 当D??1,0?，B?2,0?时，
PD1PE?2，故B正确； cos?APO=AP2?PO2?AO2BP2?PO2?BO2对于C选项，2AP?PO，cos?BPO=2BP?PO，
要证PO为角平分线，只需证明cos?APO?cos?BPO，
AP2?PO2?AO2BP2?PO2?BO2即证2AP?PO?2BP?PO，化简整理即证PO2?2AP2?8， 设P?x,y?，则PO2?x2?y2，
2AP2?8?2x2?8x?2y2??x2?8x?y2???x2?y2??x2?y2，
则证cos?APO=cos?BPO，故C正确；
对于D选项，设M?x0,y0?，由MO?2|MA|，可得x220?y0=?x0?2?2?y20，
整理得3x23y2+16?0，而点M在圆上，故满足x2?y20?0?16x0?8x?0，
联立解得x0=2，y0无实数解，于是D错误，
3
故答案为BC．
12．已知函数f?x?是定义在R上的奇函数，当x?0时，f?x??ex?x?1?，则下列命题正确的
是（ ）
A．当x?0时，f?x???e?x?x?1?
B．函数f?x?有3个零点
C．f?x??0的解集为???,?1?U?0,1? D．?x1,x2?R，都有f?x1??f?x2??2 【答案】BCD
【解析】（1）当x?0时，?x?0，则由题意得f??x??e?x??x?1?，
∵函数f?x?是奇函数，
∴f?0??0，且x?0时，f?x???f??x???e?x??x?1??e?x?x?1?，A错；
?ex?x?1∴f?x????,x?0?0,x?0， ??e?x?x?1?,x?0（2）当x?0时，由f?x??ex?x?1??0，得x??1；
当x?0时，由f?x??e?x?x?1??0，得x?1，
∴函数f?x?有3个零点?1,0,1，B对； （3）当x?0时，由f?x??ex?x?1??0，得x??1；
当x?0时，由f?x??e?x?x?1??0，得0?x?1，
∴ f?x??0的解集为???,?1?U?0,1?，C对； （4）当x?0时，由f?x??ex?x?1?，得f??x??ex?x?2?，
由f??x??ex?x?2??0，得x??2，由f??x??ex?x?2??0，得?2?x?0，
∴函数f?x?在???,?2?上单调递减，在??2,0?上单调递增， ∴函数在???,0?上有最小值f??2???e?2，且f?x??ex?x?1??e0??0?1??1，
又∵当x?0时，f?x??ex?x?1??0时，x??1，函数在???,0?上只有一个零点，
∴当x?0时，函数f?x?的值域为???e?2,1?，
由奇函数的图象关于原点对称得函数f?x?在R的值域为??1,e?2??U???e?2,1????1,1?， ∴ 对?x1,x2?R，都有f?x1??f?x2??2，D对， 故选BCD．
第Ⅱ卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．???2x?1?88x3?展开式中的常数项为________．
?【答案】28
【解析】Tr8?rr?1?C8(2x)(?18x3)r?(?1)r28?4rCrx8?4r8， 由8?4r?0，得r=2，
所以的常数项为(?1)2C28?28．
14．在△ABC中，uABuur??3cosx,cosx?,uACuur??cosx,sinx?，则△ABC面积的最大值是
________． 【答案】
34 【解析】S△ABC?1uABuur?uuuruuuruuur1uABuur2?uACuur2?1?cos2uABuur,uACuur2ACsinAB,AC?2? ?1uABuur2?uACuur222??uABuur?uACuur?2?14cos22x??3cosx?sinxcosx?2 ?123cosxsinx?cos2x?12sin??π?13?2x?6???2?4， 当sin???2x?π?6????1时等号成立，此时2x?πππ6??2，即x??6时，满足题意．
故答案为
34． 15．已知椭圆x2y2a2?b2?1?a?b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且与x轴垂直的直线交
4
椭圆于A、B两点，直线AF2与椭圆的另一个交点为C，若AF2?2F2C，则椭圆的离心率为__________． 【答案】55 【解析】F1??c,0?，F2?c,0?，
设A????c,b2?a?，过点C作CD?x轴，垂直为D，
?Rt△AF1F2:Rt△CDF2，?CDDF2F2C1AF?F??， 1F12AF22?C??2c,?b2?2a?，代入椭圆方程得4c2b24c2a2?c2??a2?4a2?1?a2?4a2?1， 解得e?ca?55，
故答案为55． 16．如图，矩形ABCD中，AB?23，AD?2，Q为BC的中点，点M，N分别在线段AB，CD上运动（其中M不与A，B重合，N不与C，D重合）
，且MN∥AD，沿MN将△DMN折起，得到三棱锥D?MNQ，则三棱锥D?MNQ体积的最大值为_______；当三棱锥
D?MNQ体积最大时，其外接球的表面积的值为________．
【答案】1，25π3 【解析】（1）依题意设AM=DN=x，则MB=NC=23-x，
因为MN∥AD，所以DN?MN，
DN与平面MNQ所成角为?，
V11骣1D-MNQ=3鬃S△MBQhD=3琪琪桫2MN鬃NC(DN?sinq)=1轾轾3犏1犏臌2醋2(23-x)鬃(xsinq)=犏犏臌-13(x-3)2+1sinq，
当x?3，??90?时，三棱锥D?MNQ体积取得最大值，
V轾1D-MNQ(max)=犏犏臌-3(3-3)2+1sin90?1，
所以三棱锥D?MNQ体积的最大值为1，故答案为1． （2）由（1）知道三棱锥D?MNQ体积取得最大值时，
DN与平面MNQ所成角??90?，即DN?平面MNQ，
折起如图所示：依题意可建立如图所示空间直角坐标系：
所以N(0,0,0)，M(2,0,0)，D(0,0,3)，Q(1,3,0)，
设三棱锥D?MNQ外接球的球心为O(x,y,z)，
\\R=uONuur=uOMuuur=uODuur=uOQuur，
ìì?222222??x+y+z=(x-2)+y+z?x=1?í222??x+y+z2=x2+y2+z-3，解得?íy=3， ?()??x2+y2+z2=(x-1)2+(y-3)2?3+z2???3?z=222所以R=uONuur=12+骣琪353琪3+骣琪3桫琪=桫26， 骣外接球面积为S=4πR2=4π琪532琪=25π25π桫63，故答案为3． 5
(新高考)2020年高考冲刺信息卷——数学(二)教师版
