椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx2?3y2?6m?0的一个焦点为(0,2)求m的值.
分析:把椭圆的方程化为标准方程,由c?2,根据关系a?b?c可求出m的值.
222x2y2??1.因为焦点在y轴上,所以2m?6,解得m?3. 解:方程变形为
62m又c?2,所以2m?6?2,m?5适合.故m?5.
例2 已知椭圆的中心在原点,且经过点P?3,0?,a?3b,求椭圆的标准方程.
分析:因椭圆的中心在原点,故其标准方程有两种情况.根据题设条件,运用待定系数法,
求出参数a和b(或a和b)的值,即可求得椭圆的标准方程.
222x2y2解:当焦点在x轴上时,设其方程为2?2?1?a?b?0?.
ab90x222由椭圆过点P?3,0?,知2?2?1.又a?3b,代入得b?1,a?9,故椭圆的方程为?y2?1.
ab9y2x2当焦点在y轴上时,设其方程为2?2?1?a?b?0?.
ab90y2x222?1.由椭圆过点P?3, 0?,知2?2?1.又a?3b,联立解得a?81,b?9,故椭圆的方程为?ab819
例3 ?ABC的底边BC?16,AC和AB两边上中线长之和为30,求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹.
分析:(1)由已知可得GC?GB?20,再利用椭圆定义求解.
(2)由G的轨迹方程G、A坐标的关系,利用代入法求A的轨迹方程.
1
BC中点为原点建立直角坐标系.解: (1)以BC所在的直线为x轴,设G点坐标为?x,y?,由GC?GB?20,
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且除去轴上两点.因a?10,c?8,有b?6,
x2y2??1?y?0?. 故其方程为
10036x?2y?2??1?y??0?. ① (2)设A?x,y?,G?x?,y??,则
10036x??x?,?x2y2?3??1?y?0?,其轨迹是椭圆(除去x轴上两点)由题意有?代入①,得A的轨迹方程为.
y900324?y???3?例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为的垂线,它恰好过椭圆的一个焦点,求椭圆方程.
解:设两焦点为F1、F2,且PF1?4525和,过P点作焦点所在轴334525,PF2?.从椭圆定义知2a?PF 1?PF2?25.即a?5.33从PF2F1中,sin?PF1F2?1?PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴,所以在Rt?PFPF21?, PF12可求出?PF1F2??6,2c?PF1?cos?6?1025222,从而b?a?c?.
33x23y23x2y2??1或??1. ∴所求椭圆方程为
510105x2y2例5 已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?,长轴端点为A1,A2,焦点为F1,?A1PA2??,F2,P是椭圆上一点,
ab?F1PF2??.求:?F1PF2的面积(用a、b、?表示).
2
分析:求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边,从而利用S??1absinC求面积. 2解:如图,设P?x,y?,由椭圆的对称性,不妨设P?x,y?,由椭圆的对称性,不妨设P在第一象限.由余弦定理知: F1F222?PF1?PF2?2PF1·PF2cos??4c.①
222b2由椭圆定义知: PF. 1?PF2?1?PF2?2a ②,则②-①得 PF1?cos?2故S?F1PF2
1?12b2?PF1?PF2sin? ?sin? ?b2tan. 2221?cos?例6 已知动圆P过定点A??3,且在定圆B:求动圆圆心P的轨迹方程. 0?,?x?3??y2?64的内部与其相内切,
2分析:关键是根据题意,列出点P满足的关系式.
解:如图所示,设动圆P和定圆B内切于点M.动点P到两定点, 即定点A??3,0?和定圆圆心B?3,0?距离之和恰好等于定圆半径,
即PA?PB?PM?PB?BM?8.∴点P的轨迹是以A,B为两焦点,
x2y2??1. 半长轴为4,半短轴长为b?4?3?7的椭圆的方程:
16722说明:本题是先根据椭圆的定义,判定轨迹是椭圆,然后根据椭圆的标准方程,求轨迹的方程.这是求轨迹方程的一种重要思想方法.
x2?11??y2?1,例7 已知椭圆(1)求过点P?,?且被P平分的弦所在直线的方程; 2?22?(2)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(3)过A?2,1?引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程;
(4)椭圆上有两点P、Q,O为原点,且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??求线段PQ中点M的轨迹方程.
分析:此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法.
解:设弦两端点分别为M?x1,y1?,N?x2,y2?,线段MN的中点R?x,y?,则
1, 2 3
?x12?2y12?2,?22?x2?2y2?2,??x1?x2?2x,?y?y?2y,?12
(1)将x?①②③④
由题意知x1①-②得
?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0.
y1?y2?0,
x1?x2y1?y2?0.⑤
x1?x2?x2,则上式两端同除以x1?x2,有?x1?x2?2?y1?y2?将③④代入得x?2y11y?y21,y?代入⑤,得1??,故所求直线方程为: 2x?4y?3?0. ⑥ 22x1?x222将⑥代入椭圆方程x2?2y2?2得6y?6y?(2)将
11?0,??36?4?6??0符合题意,2x?4y?3?0为所求. 44y1?y2(椭圆内部分) ?2代入⑤得所求轨迹方程为: x?4y?0.
x1?x2y1?y2y?1代入⑤得所求轨迹方程为: x2?2y2?2x?2y?0.(椭圆内部分) ?x1?x2x?2(3)将
2x12?x22?y12?y2?2, ⑦, 将③④平方并整理得 (4)由①+②得 :
2??22x12?x2?4x2?2x1x2, ⑧, y12?y2?4y2?2y1y2, ⑨
4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2, ⑩ 将⑧⑨代入⑦得:
4??y21?1?222?1. 再将y1y2??x1x2代入⑩式得: 2x?x1x2?4y?2??x1x2??2, 即 x?122??2此即为所求轨迹方程.当然,此题除了设弦端坐标的方法,还可用其它方法解决.
例8 已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m. (1)当m为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为
22解:(1)把直线方程y?x?m代入椭圆方程4x?y?1得 4x2??x?m??1,
210,求直线的方程. 52即5x?2mx?m?1?0.???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0,解得?222??55. ?m?224
2mm2?1(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1,x2,由(1)得x1?x2??,x1x2?.
55m2?1210?2m?2?根据弦长公式得 :1?1???.解得m?0.方程为y?x. ??4?555??
说明:处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题,采用的方法与处理直线和圆的有所区别.
这里解决直线与椭圆的交点问题,一般考虑判别式?;解决弦长问题,一般应用弦长公式. 用弦长公式,若能合理运用韦达定理(即根与系数的关系),可大大简化运算过程.
2x2y2??1的焦点为焦点,过直线l:x?y?9?0上一点M作椭圆,要使所作椭圆的长轴最短,例9 以椭圆
123点M应在何处?并求出此时的椭圆方程.
分析:椭圆的焦点容易求出,按照椭圆的定义,本题实际上就是要在已知直线上找一点,使该点到直线同侧的两已知点(即两焦点)的距离之和最小,只须利用对称就可解决.
x2y2??1的焦点为F1??3,解:如图所示,椭圆0?,F2?3,0?. 123点F1关于直线l:x?y?9?0的对称点F的坐标为(-9,6),直线FF2的方程为x?2y?3?0. 解方程组??x?2y?3?0得交点M的坐标为(-5,4).此时MF1?MF2最小.
x?y?9?0?所求椭圆的长轴:2a?MF1?MF2?FF2?65,∴a?35,又c?3,
x2y2??1. ∴b?a?c?35?3?36.因此,所求椭圆的方程为
4536222??22x2y2???1表示椭圆,求k的取值范围. 例10 已知方程
k?53?k?k?5?0,?解:由?3?k?0,得3?k?5,且k?4.
?k?5?3?k,?∴满足条件的k的取值范围是3?k?5,且k?4.
5
椭圆经典例题
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