椭圆标准方程典型例题
例1 已知椭圆mx2?3y2?6m?0的一个焦点为（0，2）求m的值．
分析：把椭圆的方程化为标准方程，由c?2，根据关系a?b?c可求出m的值．
222x2y2??1．因为焦点在y轴上，所以2m?6，解得m?3． 解：方程变形为
62m又c?2，所以2m?6?2，m?5适合．故m?5．
例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点P?3，0?，a?3b，求椭圆的标准方程．
分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，
求出参数a和b（或a和b）的值，即可求得椭圆的标准方程．
222x2y2解：当焦点在x轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．
ab90x222由椭圆过点P?3，0?，知2?2?1．又a?3b，代入得b?1，a?9，故椭圆的方程为?y2?1．
ab9y2x2当焦点在y轴上时，设其方程为2?2?1?a?b?0?．
ab90y2x222?1．由椭圆过点P?3， 0?，知2?2?1．又a?3b，联立解得a?81，b?9，故椭圆的方程为?ab819
例3 ?ABC的底边BC?16，AC和AB两边上中线长之和为30，求此三角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹．
分析：（1）由已知可得GC?GB?20，再利用椭圆定义求解．
（2）由G的轨迹方程G、A坐标的关系，利用代入法求A的轨迹方程．
1
BC中点为原点建立直角坐标系．解： （1）以BC所在的直线为x轴，设G点坐标为?x，y?，由GC?GB?20，
知G点的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因a?10，c?8，有b?6，
x2y2??1?y?0?． 故其方程为
10036x?2y?2??1?y??0?． ① （2）设A?x，y?，G?x?，y??，则
10036x??x?，?x2y2?3??1?y?0?，其轨迹是椭圆（除去x轴上两点）由题意有?代入①，得A的轨迹方程为．
y900324?y???3?例4 已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．
解：设两焦点为F1、F2，且PF1?4525和，过P点作焦点所在轴334525，PF2?．从椭圆定义知2a?PF 1?PF2?25．即a?5．33从PF2F1中，sin?PF1F2?1?PF2知PF2垂直焦点所在的对称轴，所以在Rt?PFPF21?， PF12可求出?PF1F2??6，2c?PF1?cos?6?1025222，从而b?a?c?．
33x23y23x2y2??1或??1． ∴所求椭圆方程为
510105x2y2例5 已知椭圆方程2?2?1?a?b?0?，长轴端点为A1，A2，焦点为F1，?A1PA2??，F2，P是椭圆上一点，
ab?F1PF2??．求：?F1PF2的面积（用a、b、?表示）．
2
分析：求面积要结合余弦定理及定义求角?的两邻边，从而利用S??1absinC求面积． 2解：如图，设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P?x，y?，由椭圆的对称性，不妨设P在第一象限．由余弦定理知： F1F222?PF1?PF2?2PF1·PF2cos??4c．①
222b2由椭圆定义知： PF． 1?PF2?1?PF2?2a ②，则②－①得 PF1?cos?2故S?F1PF2
1?12b2?PF1?PF2sin? ?sin? ?b2tan． 2221?cos?例6 已知动圆P过定点A??3，且在定圆B：求动圆圆心P的轨迹方程． 0?，?x?3??y2?64的内部与其相内切，
2分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．
解：如图所示，设动圆P和定圆B内切于点M．动点P到两定点， 即定点A??3，0?和定圆圆心B?3，0?距离之和恰好等于定圆半径，
即PA?PB?PM?PB?BM?8．∴点P的轨迹是以A，B为两焦点，
x2y2??1． 半长轴为4，半短轴长为b?4?3?7的椭圆的方程：
16722说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．
x2?11??y2?1，例7 已知椭圆（1）求过点P?，?且被P平分的弦所在直线的方程； 2?22?（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过A?2，1?引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
（4）椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足kOP?kOQ??求线段PQ中点M的轨迹方程．
分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．
解：设弦两端点分别为M?x1，y1?，N?x2，y2?，线段MN的中点R?x，y?，则
1， 2 3
?x12?2y12?2，?22?x2?2y2?2，??x1?x2?2x，?y?y?2y，?12
（1）将x?①②③④
由题意知x1①－②得
?x1?x2??x1?x2??2?y1?y2??y1?y2??0．
y1?y2?0，
x1?x2y1?y2?0．⑤
x1?x2?x2，则上式两端同除以x1?x2，有?x1?x2?2?y1?y2?将③④代入得x?2y11y?y21，y?代入⑤，得1??，故所求直线方程为： 2x?4y?3?0． ⑥ 22x1?x222将⑥代入椭圆方程x2?2y2?2得6y?6y?（2）将
11?0，??36?4?6??0符合题意，2x?4y?3?0为所求． 44y1?y2（椭圆内部分） ?2代入⑤得所求轨迹方程为： x?4y?0．
x1?x2y1?y2y?1代入⑤得所求轨迹方程为： x2?2y2?2x?2y?0．（椭圆内部分） ?x1?x2x?2（3）将
2x12?x22?y12?y2?2， ⑦， 将③④平方并整理得 （4）由①＋②得 ：
2??22x12?x2?4x2?2x1x2， ⑧， y12?y2?4y2?2y1y2， ⑨
4x2?2x1x2?4y2?2y1y2?2， ⑩ 将⑧⑨代入⑦得：
4??y21?1?222?1． 再将y1y2??x1x2代入⑩式得： 2x?x1x2?4y?2??x1x2??2， 即 x?122??2此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．
例8 已知椭圆4x2?y2?1及直线y?x?m． （1）当m为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
22解：（1）把直线方程y?x?m代入椭圆方程4x?y?1得 4x2??x?m??1，
210，求直线的方程． 52即5x?2mx?m?1?0．???2m??4?5?m2?1??16m2?20?0，解得?222??55． ?m?224
2mm2?1（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1，x2，由（1）得x1?x2??，x1x2?．
55m2?1210?2m?2?根据弦长公式得 ：1?1???．解得m?0．方程为y?x． ??4?555??
说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．
这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式?；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．
2x2y2??1的焦点为焦点，过直线l：x?y?9?0上一点M作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，例9 以椭圆
123点M应在何处？并求出此时的椭圆方程．
分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．
x2y2??1的焦点为F1??3，解：如图所示，椭圆0?，F2?3，0?． 123点F1关于直线l：x?y?9?0的对称点F的坐标为（－9，6），直线FF2的方程为x?2y?3?0． 解方程组??x?2y?3?0得交点M的坐标为（－5，4）．此时MF1?MF2最小．
x?y?9?0?所求椭圆的长轴：2a?MF1?MF2?FF2?65，∴a?35，又c?3，
x2y2??1． ∴b?a?c?35?3?36．因此，所求椭圆的方程为
4536222??22x2y2???1表示椭圆，求k的取值范围． 例10 已知方程
k?53?k?k?5?0,?解：由?3?k?0,得3?k?5，且k?4．
?k?5?3?k,?∴满足条件的k的取值范围是3?k?5，且k?4．
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椭圆经典例题
