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公共选修课下的权向量 专业选修课下的模糊关系子矩阵（i=1,2,3,4） 公共选修课下的模糊关系子矩阵（i=1,2,3,4） 专业选修课下的模糊评判集 公共选修课下的模糊评判集 表一 五 模型的建立与求解
5.1 通过层次分析结构模型建立评教综合体系指标
首先对10个指标进行分层，将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素。如图（一）所示。
图一 其中，目标层为：学生评教；
准则层：教学态度、教师方式、教学效果、教学内容 方案层：指标ABCDEFGHIJ
首先分析准则层对目标层的影响，本文把10个指标分成4类，所以设有n个因素(,,,,)（分别构成教学态度、教学方式、教学效果、教学内容），用 表示和对上层目标的影响比。 相对重要： 定义 若 xi 等价于xj: 赋值 1 若 xi 比xj 重要 : 赋值 3 若 xi 比xj 重要得多: 赋值 5 若xi 是强烈重要的 若xi 是最重要的 重要程度等级介于 xi 和 xj 之间 对应于以上等级的xi 和xj 之间的关系 1 3 5 7 9 2,4,6,8 1/2,1/3,…,1/9 表(二) 相对重要程度 取值情况
首先我们把课程锁定在专业必修课上。经过我们对专家（全体同学）对比教育态度、教学方式、教学效果、教学内容的咨询，可近似得到以下系数： = 1:3 = 1:4 = 1:3
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= 1:2 = 1:1 =2:1 从而得到正互反矩阵：
A= 1 1/3 1/4 1/3 3 1 1/2 1 4 2 1 2 3 1 1/2 1
利用MATLAB语言求矩阵A的最大特征值得：λ = 4.0206 ； 对正互反矩阵进行一致性检验，采用T .L . Saaty 一致性指标：
CI = (λ-n)/(n-1)
根据Saaty的随机一致性指标表格
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 得RI=0.90
一致性比例 CR= CI/RI =0.0069/0.90=0.0076<0.1 ,即通过了一致性检验。 ，得到权向量
对于阶数较高的矩阵特征向量，如果矩阵正互反阵，可以由下面三种简便的近似方法计算其特征根和特征向量。 幂法：
Step1任取n维归一化初始向量w(0).
~(k?1)?Aw~(k),k?0,1,2,?. Step2计算w~?k?1?w(k?1)(k?1)~Step3w归一化，即令w. ?n~?k?1??wii?1Step4对于预先给定的精度?，当wi(k?1)?wi(k)??(i?1,2,?,n)时，w(k?1)即为所求的特征向量；否则返回Step2.
~(k?1)1nwStep5计算最大特征根???i(k).
ni?1wi和法：
aij~Step1将A的每一列向量归一化得wij?n.
?aiji?1~按行求和得w~?wStep2对w?~ij. ijii?1n文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.
~wT~Step3将wi归一化wi?ni,w??w1,w2,?,wn?. ~?wii?11n(Aw)iStep4计算???，作为最大特征根的近似值.
ni?1wi这个方法实际上是将A的列向量归一化后取平均值，作为A的特征向量。因为当A为一致阵时，它的每一列向量都是特征向量，所以若A的不一致性不严重，则取A的列向量（归一化后）的平均值作为近似特征向量是合理的。 根法：
aij~Step1将A的每一列向量归一化得wij?n.
?aiji?1?n~?~~?Step2对wij按行求积并开n次方，即wi????wij??j?1?1/n.
~wT~Step3将wi归一化wi?ni,w??w1,w2,?,wn?.
~?wii?11n(Aw)iStep4 计算???，作为最大特征根的近似值.
ni?1wi经过MATLAB进行归一化处理，得到标准化特征向量（权向量）：
W =（ 0.0886，0.2389，0.4337，0.2389 ）
即当前同学们在专业课必修上，对教育态度、教育方式、教育效果、教育内容重视情况为 （0.0886，0.2389，0.4337，0.2389）。
下面开始构造方案层对准则层的每个准则的正互反矩阵 1）AHI对E1的正互反矩阵 2）CD对E2的正互反矩阵 3) GEF对E3的正互反矩阵 4）J B对E4的正互反矩阵
同理对以上矩阵做一致性比例处理，发现 CR均<0.1 ,即都通过了检验 5.2建立 模糊综合评价模型
U??u1,u2,?,um?，（m=10）
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（i=1，2，…，10）分别对应指标ABCDEFGHIJ
V??v1,v2,?,vn?=，其中 分别表示差，普通，中，良，优秀。
权重反映各评价指标在综合评价中的重要性程度，且
为了提高模型的精度，本模型利用前面的层次分析模型得出的权重（权向量） W=( 0.0886，0.2389，0.4337，0.2389 )
5.2.4 输入一组专家（同学）评教意见确定评价矩阵R
假设我们通过调查得到20个同学对教师的10个指标的单因素评价的结果。如下表所示：
表（三）
根据表（三）的信息，用得分处以50作为隶属度，可得E1的单因素评价矩阵 = 0 0.2 0.44 0.3 0.06 0.04 0.24 0.34 0.2 0.18 0.1 0.16 0.28 0.26 0.2
= 0.04 0.24 0.4 0.22 0.1 0 0.18 0.42 0.32 0.08
0.02 0.06 0.22 0.56 0.24 = 0.1 0.18 0.32 0.28 0.12 0 0.04 0.34 0.32 0.2
= 0.02 0.2 0.3 0.3 0.18 0.06 0.16 0.32 0.34 0.12 =
* = （ 0.039316 0.2119 0.35933 0.24283 0.14662）
= *= ( 0.03 0.225 0.405 0.245 0.095 ) = *= ( 0.059186 0.12118 0.30379 0.34832 0.16438)
= * =( 0.05 0.17 0.315 0.33 0.135 ) 由各个模糊关系子矩阵得出模糊关系总矩阵
0.039316 0.2119 0.35933 0.24283 0.14662
= 0.03 0.225 0.405 0.245 0.095
0.059186 0.12118 0.30379 0.34832 0.16438 0.05 0.17 0.315 0.33 0.135
通过权系数矩阵W与评价矩阵R的模糊变换得到模糊评判集S。设
W?(?j)1?m，R?(rji)m?n那么
其中“。”为模糊合成算子。进行模糊变化时要选择适宜的模糊合成算子，本文
?m??选择最优的M(?,?)算子， sk?min??1,??jrjk?,k?1,2,?,n
?j?1?将层次分析法算出的权向量W，以及评价矩阵R带入得出模糊评价集，经运算
得：
S= W 。 R= (0.048264 0.1657 0.3356 0.30995 0.13923)
模糊评判集S??S1,S2,?,Sn? 中Si为等级vi对模糊评判集S的隶属度，按最
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大隶属度原则得出综合结论，即M?max?S1,S2,?,Sn?，M所对应的元素为综合评价结果。
S= (0.048264 0.1657 0.3356 0.30995 0.13923)
易看出第三个指标值最大 ，所以该教师在此课程为专业基础课下的综合评价为“中” 。
至此，模型构建完毕。只要输入一个如表所示的调查表，即可通过该模型得到某位教师的综合评价。 5.3 模型的检验
弊端一已经由层次分析法的归一化解决了，为了检验本文建立的模糊综合评价模型能够解决第二个问题，即不同课程难易程度带来对总体评教的影响，接下来本文构建不同难易程度的课程：专业课必修课，专业选修课（前文已经构建完模型并已分析 ），专业公选课（难度：专业必修课>专业选修课>公共选修课），分析同一位教师在不同课程下是否得到相同的评价。 5.3.1 同一位教师在专业选修课下，层次分析法的构建 我们在专业选修课下，得出近似系数： = 1/3 = 1/2 = 1/3 = 2 = 1 = 1/2 从而得到正互反矩阵：
1 1/3 1/2 1/3 = 3 1 2 1 2 1/2 1 1/2 3 1 2 1 层次单排序及其一致性检验：
利用MATLAB语言求矩阵A的最大特征值得： = 4.0104 ； 根据Saaty的随机一致性指标表格 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 RI 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.49 1.51 得RI=0.90
一致性比例：CR= CI/RI =0.0035/0.90=0.0039<0.1 ,即通过了一致性检验。 得到标准化特征向量（权向量）
=（ 0.1091，0.3509，0.1891，0.3509 ）。
即当前同学们在专业课选修上对教育态度、教育方式、教育效果、教育内容重视
情况分别为 （0.1091，0.3509，0.1891，0.3509） ，所以模糊关系总矩阵是不变的。
模糊关系总矩阵：
0.039316 0.2119 0.35933 0.24283 0.14662
= 0.03 0.225 0.405 0.245 0.095
0.059186 0.12118 0.30379 0.34832 0.16438 0.05 0.17 0.315 0.33 0.13 做出综合评价分析
数学建模优秀论文基于层次分析法的模糊综合评价模型
