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2010年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题
（2010年5月16日上午9：00—11：30）
一、选择题
????????????????1．已知O为?ABC内一点，若对任意k?R，有|OA?OB?kBC|?|AC|，则?ABC一
定是（ ） A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定 2.已知f(1,1)?1，f(m,n)?N*（m,n?N*）且对任意m，n?N*都有 ①f(m,n?1)?f(m,n)?2；②f(m?1,1)?2f(m,1) 则f(2010,2008)的值为（ ） A．22009?2007 B．22009?4014 C．22010?2007 D．22010?4014
23．已知函数f(x)?x?4x?3，集合M?{(x,y)|f(x)?f(y)?0}，集合
N?{(x,y)|f(x)?f(y)?0}，则在平面直角坐标系内集合M?N所表示的区域的面积
是 （ ）
A.
?? B. C.? D.2? 424.一个正六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这样的两个
m多面体的内切球的半径之比是一个最简分数，那么积m?n等于（ ）
nA．3 B．4 C．6 D．12
5．设函数f(x)满足下列条件：①f(x)是定义在R上的奇函数；②对任意的x1,x2?[1,a]（其中常数a?1），当x2?x1时，有f(x2)?f(x1)?0.则下列不等式不一定成立的是 （ ）
A.f(a)?f(0) C．f(1?3a)?f(?3) 1?a6.圆周上有10个等分点，则以这10个等分点中的四个点为顶点的凸四边形中，梯形所占的比为（ ）
A．
1?a)?f(a) 21?3aD．f()?f(?a)1?a
B．f(8 B．4 C．1 D．2
12672121
二、填空题
?3x,x?21．已知函数f(x)??，则f(2?log32)?_________．
?f(x?1),x?212．不等式x??a?2?1对一切非零实数x均成立，则实数ax的最大值是_________． 3．已知(ax?1)?anx?an?1x________．
nnn?1???a1x?a0（n?N*），点
列Ai(i,ai)(i?0,1,2,?,n)部分图象如图所示，则实数a的值为
?恒成立，则常2数B?A的最小值为_________；对任意锐角?ABC，均有sinA?sinB?sinC?M成立，
4．若Bx?sinx?Ax(A，B为常数)对0?x? 第 1 页 共 6 页
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则M的最大值为_________．
5．已知圆O的半径为1，半径OA、OB夹角为?(0????)，?为常数，点C为圆上动
????????????点，若OC?xOA?yOB (x,y?R)，则x?y的最大值为_________． 6.以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取与闭区间[0,4]对应的线段，
对折后（坐标4所对应的点与原点重合）再均匀地拉成4个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标1、3变成2，原来的坐标2变成4，等等）.那么原闭区间[0,4]上（除两个端点外）的点，在第n次操作完成后（n?1），恰好被拉到与4重合的点所对应的坐标为___________________________．
? ?? 4 02
三、解答题
x23x?y?1．（1）设x?0，y?0求证：； x?y4x3y3z3xy?yz?zx???（2）设x?0，y?0，z?0，求证： x?yy?zz?x2
2．已知数列{an}满足a1?a（a?0,且a?1），前n项和为Sn，且Sn??记bn?anlg|an|（n?N），当a??a(1?an)， 1?a7时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数3n，都有bn?bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
D
3．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，?DCOQ的平分线CQ交线段OD于Q，连接AQ，作OM?BC于
COM，ON?AQ于N且P为AB边的中点，
OB?OD. OA?OC?CDA求证：PM?PN.
NM P B4.在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形： （1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横纵坐标均为整数的点称为整点）
问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由．
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2010年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题参考答案
一、选择题 1．A 2．B 3．C
提示：由已知可得M={（x,y)|f(x)+f(y)≤0}=
22
{(x,y)|(x-2)+(y-2)≤2},N={(x,y)|f(x)-f(y)≥0} ={(x,y)|(x-y)(x+y-4)≥0}.
?(x?2)2?(y?2)2?2则M?N??,
(x?y)(x?y?4)?0?作出其交集部分可得如图所示，其面积为圆面积的一半， 即为?(2)2??，故应选C. 4．C
提示：利用等体积法，可以求出5．C
6．D
提示：任选4点，共有C10?210个凸四边形，其中梯形的两条平行边可以从5组平行于直径的5条平行弦中选取，也可以5组从不平行于直径的4条平行弦中选取，去除矩形，梯形共有60个，所以，梯形所占的比为
二、填空题
1．6 2． 3。 3．
412m2?，所以m?n等于6. n32． 7112 4．1?； 2 5．．
?3?cos26.
j2n?2（这里j为[1,2]中的所有奇数）
n
三、解答题
x23x?y?; 1．（1）设x?0,y?0,求证：
x?y4x3y3z3xy?yz?zx???. （2）设x?0,y?0,z?0,求证：
x?yy?zz?x2x23x?y(x?y)2x23x?y???0，∴?证明：（1）?. x?y44(x?y)x?y4x33x2?xy?. （2）由（1）得
x?y4y33y2?yzz33z2?zx??类似的，， y?z4z?x4x3y3z33x2?xy?3y2?yz?3z2?zx???∴ x?yy?zz?x4 第 3 页 共 6 页
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3(x2?y2?z2)?xy?yz?zx?43(xy?yz?zx)?xy?yz?zx ?4xy?yz?zx?22．已知数列{an}满足a1?a（a?0,且a?1），前n项和为Sn，且Sn?记bn?anlg|an|（n?N），当a???a(1?an)， 1?a7时，问是否存在正整数m，使得对于任意正整数3n，都有bn?bm？如果存在，求出m的值；如果不存在，说明理由．
aa解：当n?2时，Sn?(1?an)，Sn?1?(1?an?1)，
1?a1?aaa∴an?Sn?Sn?1?[(1?an)?(1?an?1)]?(an?1?an)，
1?a1?a即an?aan?1，又a1?a?0，
所以，{an}是首相和公比都是a的等比数列，
∴an?a，于是bn?anlg|an|?nalg|a|.
nn7?(?1,0)，∴lg|a|?0， 3n故当n为偶数时，bn?nalg|a|?0，当n为奇数时，bn?0. 可见，若存在满足条件的正整数m，则m为偶数. b2k?2?b2k?[(2k?2)a2k?2?2ka2k]lg|a|∵a???2a2k[(k?1)a2?k]lg|a|a2?1 ?2a[k(a?1)?a?2]lg|a|a?1a22k2?2a(a?1)(k?)lg|a|(k?N?).1?a2722k22当a??时，a?1??，2a(a?1)lg|a|?0.
39a27?又 21?a27当k?时，b2k?2?b2k，即b8?b10?b12??；
27当k?时，b2k?2?b2k，即b8?b6?b4?b2.
2故存在正整数m?8，使得对于任意正整数n，都有bn?bm.
2k22 3．如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，?DCO的平分线CQ交线段OD于Q，连接AQ，作OM?BC于M，ON?AQ于N.且P为AB边的中点，OA?求证：PM?PN.
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OB?OD
OC?CDEmail:ybdyx@139.com
证明：?CQ平分?DCO
?DQDC， ?QOCOQO∴CO??DC ①
DQOB?OD又OA?，
OC?CD∴OA?(OC?CD)?OB?OD ②
∴OA?(D Q 将①代入②，得
DQ?QO)CD?OB?OD N DQO DO∴OA??CD?OB?OD M DQA X 1∴OA??CD?OB，
DQY CO∴OA??OB P QO即OA?OC?OQ?OB，∴A,Q,C,B四点共圆. 得?QAO??CBO
B 分别取OA,OB的中点X,Y，连接NX,PX,MY,PY,则OXPY为平行四边形. 1∴NX?AO?XO?PY，
2?PXN??NXO??OXP?2?QAO??OXP ?2?CBO??OYP??MYO??OYP??MYP
1PX?YO?OB?MY
2∴?PXN≌?MYP ∴PM?PN.
C
4.在平面直角坐标系内，画出同时满足以下条件的所有矩形：
（1）这些矩形的各边均与两坐标轴平行或重合；
（2）这些矩形的所有顶点（重复的只计算一次）恰好为100个整点（横、纵坐标均为整数的点称为整点）
问：最多能画出多少个这样的矩形，说明你的理由. 证明：（1）先证明这样的矩形不超过2025个.
任取定100个整点。设O为所取定的100个整点中的一个，我们称以O为一个顶点，另外三个也取自100个整点，且边均与两坐标轴平行或重合的矩形为“好的”。下证：至多有81个“好的”矩形。
事实上，过O作平行于两坐标轴的直线l1，l2，并设l1\\{O}上有m个点取自所取定的100个整点，l2\\{O}上有n个点取自所取定的100个整点，设点P为所取定的100个整点中的一个，且不在l1和l2上，则至多有一个“好的”矩形以P为其一个顶点，而这样的点至多有99?m?n个，且每一个“好的”矩形必有一个顶点为这样的点，于是
①若m?n?18,则“好的”矩形至多有99?m?n?81个；
Q?l2\\{O}，②若m?n?18,考虑点对(P,Q)，其中P?l1\\{O}，可知每一对(P,Q)至多形成一个“好的”矩形，故“好的”矩形的个数?mn?m(18?m)?9?9?81个。
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综上可知，对所取定的100个整点中的任意一点O，以O为其一个顶点的“好的”矩形至多81个，于是，满足条件的矩形的个数?81?100?2025（这里除以4是因为每个矩4形有4个顶点）。
（2）设点集A?{(x,y)|1?x?10,1?y?10,x,y?N}，取点集A中的100个点，则恰好可以画出满足题设的2025个矩形。
综上可知最多能画出2025个这样的矩形.
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2010年全国高中数学联赛吉林赛区预赛试卷及答案
