第1讲 直线与圆
限时40分钟 满分80分
一、选择题(本大题共11小题，每小题5分，共55分)
1．(2020·成都二诊)设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sin A·x＋ay－c＝0与bx－sin B·y＋sin C＝0的位置关系是( )
A．平行 C．垂直
B．重合 D．相交但不垂直
sin A解析：C [由题意可得直线sin A·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－，bx－sin B·y＋
absin Absin C＝0的斜率k2＝，故k1k2＝－·＝－1，则直线sin A·x＋ay－c＝0与
sin Basin B直线bx－sin B·y＋sin C＝0垂直，故选C.]
2．(2020·杭州质检)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
53
A．－或－ 3554C．－或－ 45
32
B．－或－ 2343D．－或－ 34
2
2
解析：D [点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，故可设反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，∵反射光线与圆(x＋3)＋(y－2)＝1相切，∴圆心(－3,2)到直线的距|－3k－2－2k－3|432
离d＝＝1，化简得12k＋25k＋12＝0，解得k＝－或－.] 34k2＋1
3．(2020·广州模拟)若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上运动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为( )
2
2
A.2 C．32
B．22 D．42
解析：C [由题意知AB的中点M的集合为到直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0的距离都相等的直线，则点M到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0，根据两平行线间的距离公式得，
|m＋7|
2＝|m＋5|
2
，即|m＋7|＝|m＋5|，所以m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的|－6|
最小值为＝32.]
2
4．(2020·河南六校联考)已知直线x＋y＝a与圆x＋y＝1交于A，B两点，O是坐标原→→→→→→
点，向量OA，OB满足|OA＋OB|＝|OA－OB|，则实数a的值为( )
A．1 C．±1
B．2 D．±2
2
2
→→→→→→→→
解析：C [由OA，OB满足|OA＋OB|＝|OA－OB|，得OA⊥OB， 因为直线x＋y＝a的斜率是－1， 所以A，B两点在坐标轴上并且在圆上；
所以(0,1)和(0，－1)两点都适合直线的方程，故a＝±1.]
5．(2020·怀柔调研)过点P(1，－2)作圆C：(x－1)＋y＝1的两条切线，切点分别为A，
2
2
B，则AB所在直线的方程为( )
A．y＝－C．y＝－
3 43 2
2
2
1
B．y＝－
21
D．y＝－
4
解析：B [圆(x－1)＋y＝1的圆心为C(1,0)，半径为1，以|PC|＝1－1
2
＋－2－0
2
＝2为直径的圆的方程为(x－1)＋(y＋1)＝1，将两圆的方程相减
22
1
得AB所在直线的方程为2y＋1＝0，即y＝－.故选B.]
2
6．(2020·温州模拟)已知圆C：(x－2)＋y＝2，直线l：y＝kx，其中k为[－3，3]上的任意一个实数，则事件“直线l与圆C相离”发生的概率为( )
A.3 3
3B. 43－3D. 3
|2k|
22
2
1C. 4
解析：D [当直线l与圆C相离时，圆心C到直线l的距离d＝
＞2，解得k＞1k＋1
或k＜－1，又k∈[－3，3]，所以－3≤k＜－1或1＜k≤3，故事件“直线l与圆C相离”发生的概率P＝
3－1＋－1＋3
23
3－3＝，故选D.]
3
2
2
7．(2019·潍坊三模)已知O为坐标原点，A，B是圆C：x＋y－6y＋5＝0上两个动点，→→
且|AB|＝2，则|OA＋OB|的取值范围是( )
A．[6－23，6＋23] C．[3,9]
2
2
B．[3－3，3＋3] D．[3,6]
解析：A [圆C：x＋(y－3)＝4，取弦AB的中点M，连接CM，CA，在直角三角形CMA中，|CA|＝2，|MA|＝1，则|CM|＝|CA|－|MA|＝3，则点M的轨迹方程为x＋(y－3)＝3，则→→→
|OA＋OB|＝2|OM|∈[6－23，6＋23]．]
8．(多选题)直线x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－1＝0有两个不同的交点的一个充分不必要条件是( )
A．0 B．m<1 D．－3 2 2 2 2 2 2 2 2 解析：AC [本题主要考查直线与圆的位置关系的判断．圆x＋y－2x－1＝0的圆心为(1,0)，半径为2.因为直线x－y＋m＝0与圆x＋y－2x－1＝0有两个不同的交点，所以直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝ |1＋m| <2，所以|1＋m|<2，解得－3 2 2 条件，即求其子集，故由选项易得AC符合．故选AC.] 9．(2020·合肥质检)已知圆C1：(x＋2)＋(y－3)＝5与圆C2相交于A(0,2)，B(－1,1)两点，且四边形C1AC2B为平行四边形，则圆C2的方程为( ) A．(x－1)＋y＝5 922 B．(x－1)＋y＝ 2 2 2 2 2 ?1?2?1?2 C.?x－?＋?y－?＝5 ?2??2??1?2?1?29D.?x－?＋?y－?＝ ?2??2?2 解析：A [通解 (常规求解法)设圆C2的圆心坐标为(a，b)，连接AB，C1C2.因为C1(－2,3)， A(0,2)，B(－1,1)，所以|AC1|＝|BC1|＝5，所以平行四边形C1AC2B为菱形，所以C1C2⊥AB且|AC2|＝5. 3－b1－2??－2－a×－1－0＝－1，可得? ??a2＋b－22＝5， ??a＝1， 解得? ?b＝0? ??a＝－2， 或? ?b＝3，? 则圆心C2的坐标为 (1,0)或(－2,3)(舍去)． 因为圆C2的半径为5，所以圆C2的方程为(x－1)＋y＝5.故选A. 优解 (特值验证法)由题意可知，平行四边形C1AC2B为菱形，则|C2A|＝|C1A|＝2＋2－3 2 2 2 2 ＝5，即圆C2的半径为5，排除B，D；将点A(0,2)代入选项A，C，显然选 项A符合．故选A.] 10．(2020·惠州二测)已知圆C：x＋y－2ax－2by＋a＋b－1＝0(a＜0)的圆心在直线3 2 2 2 2 x－y＋3＝0上，且圆C上的点到直线3x＋y＝0的距离的最大值为1＋3，则a2＋b2的值 为( ) A．1 C．3 2 2 2 2 B．2 D．4 2 解析：C [化圆C：x＋y－2ax－2by＋a＋b－1＝0(a＜0)为标准方程得C：(x－a)＋(y－b)＝1，其圆心为(a，b)，故3a－b＋3＝0，即b＝3a＋3，(a，b)到直线3x＋y＝0|3a＋b||3a＋b||3a＋3a＋3|的距离d＝＝＝，因为圆C上的点到直线3x＋y＝0的 223＋1距离的最大值为1＋3，故d＋1＝1 2 33|2a＋1|＋1＝1＋3，得到|2a＋1|＝2，解得a＝－或22 33?2?3?2?22 ，故a＋b＝?－?＋?－?＝3.选C.] 2?2??2? 2 2 2 a＝(舍去)，故b＝3×?－?＋3＝－2 ?3??? 11．(2019·烟台三模)已知圆C：(x－1)＋(y－4)＝10和点M(5，t)，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则实数t的取值范围是( ) A．[－2,6] C．[2,6] 解析：C [ B．[－3,5] D．[3,5] 当MA，MB是圆C的切线时，∠AMB取得最大值，若圆C上存在两点A，B使得MA⊥MB，则MA，MB是圆C的切线时，∠AMB≥90°，∠AMC≥45°，且∠AMC＜90°，如图，所以|MC|＝ 5－1 2 ＋t－4 2 102 ≤＝20，所以16＋(t－4)≤20，所以2≤t≤6，故选C.] sin 45° 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 12．(双空填空题)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C过点A(0，－8)，且与圆x＋y－6x－6y＝0相切于原点，则圆C的方程为___________________________________________， 圆C被x轴截得的弦长为________． 解析：本题考查圆与圆的位置关系．将已知圆化为标准式得(x－3)＋(y－3)＝18，圆心为(3,3)，半径为32.由于两个圆相切于原点，连心线过切点，故圆C的圆心在直线y＝x上．由于圆C过点(0,0)，(0，－8)，所以圆心又在直线y＝－4上．联立y＝x和y＝－4，得圆心C的坐标(－4，－4)．又因为点(－4，－4)到原点的距离为42，所以圆C的方程为(x＋4)＋(y＋4)＝32，即x＋y＋8x＋8y＝0.圆心C到x轴距离为4，则圆C被x轴截得的弦长为2× 42 22 2 2 2 2 2 2 2 2 －4＝8. 2 2 答案：x＋y＋8x＋8y＝0 8 13．(2019·哈尔滨二模)设圆x＋y－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0,3)，且与圆C交于A，B两点，若|AB|＝23，则直线l的方程为________________． 解析：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，联立方程得 ??x＝0，?2 2 ?x＋y－2x－2y－2＝0.? 2 2 ?x＝0， 得? ?y＝1－3 ?x＝0， 或? ?y＝1＋3， 2 ∴|AB|＝23，符合题意．当直线l的斜率存在时， 2 2 设直线l的方程为y＝kx＋3，∵圆x＋y－2x－2y－2＝0，即(x－1)＋(y－1)＝4，其圆心|k－1＋3||k＋2| 为C(1,1)，圆的半径r＝2，圆心C(1,1)到直线y＝kx＋3的距离d＝＝2，∵ k2＋1k＋1|AB|?2k＋2233?2 d＋?＝r，∴2＋3＝4，解得k＝－，∴直线l的方程为y＝－x＋3，即3x＋?k＋144?2? 2 2 4y－12＝0.综上，直线l的方程为3x＋4y－12＝0或x＝0. 答案：x＝0或3x＋4y－12＝0 14．若圆x＋y＝4与圆x＋y＋ax＋2ay－9＝0(a＞0)相交，公共弦的长为22，则a＝________. ??x＋y＝4， 解析：联立两圆方程?22 ?x＋y＋ax＋2ay－9＝0，? 2 2 2 2 2 2 可得公共弦所在直线方程为ax＋2ay－5＝0，
2020届高考数学大二轮复习层级二专题五解析几何第1讲直线与圆课时作业
