高中数学选修2-2知识点总结
第一章、导数
1．函数的平均变化率为
yx
f
f ( x 2 ) f (x 1 ) f ( x 1
x)f ( x 1 )
x
x2
x1
x
注 1：其中 x 是自变量的改变量，平均变化率
可正，可负，可零。
注 2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。
2、导函数的概念
: 函数 y
f ( x) 在
x
x0 处的瞬时变化率是 lim
yx
lim
f (x0
x) f (x 0)x
，
x 0 x 0
则称函数 y f ( x)在点 x0
处可导，并把这个极限叫做
y
y f (x) 在 x 0 处的导数，记作
f ( x0 ) 或
'
y |x x 0 ，即 f (x0 ) = lim
'
'
f (x0lim
x) f ( x 0 )
.
x
x
0
x
x 0
3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。
4 导数的背景（ 1）切线的斜率；（ 2）瞬时速度；5、常见的函数导数函数
导函数
y '
(1) y c(2) y
0
x
n
n N
*
y '
n 1nx
(3) y a a 0,a
x
1
y '
x
a ln a
(4) y e
x
y '
e
x
(5)y
log a x a
0, a 1, x 0
y 'y 'y '
1
(6)y
ln x
x ln a1
x
(7) y
sin x
cos x
(8) y
cos x
y '
sin x
6、常见的导数和定积分运算公式
:若 f
'
x ， g x 均可导（可积），则有：
和差的导数运算
f (x)
g( x)
'f ( x)
'
g (x)
'
f (x) g (x)
f (x) g(x)
'
f (x) g ( x)
'
积的导数运算
特别地： Cf
'
x'
Cf 'x
f (x)
f'( x) g (x)
f ( x) g ( x)
2
'
(g ( x) 0)
商的导数运算
g(x)
g( x)1
特别地：
g '( x)
'
g x
g 2 x
复合函数的导数
yx
yu ux
b
fx dxF(a)--F(b)
a
微积分基本定理
（其中 F ' x
b
f x ）
b
b
和差的积分运算
[ f (x)
f2 ( x)]dx
b a
a
f1(x)dx
b
a
f2 ( x)dx
a
1
特别地：
b
kf ( x)dx
c
k
f (x)dx(k为常数 )
a
b
dx
积分的区间可加性
f (x)dx
a
f ( )dx
a
f (
c
(其中 a )c)
.用导数求函数单调区间的步骤
:
①求函数 f(x) 的导数 f '(x)
②令 f '(x) >0,解不等式，得
x 的范围就是递增区间 .
③令 f '(x) <0,解不等式，得
x 的范围，就是递减区间；
[注 ] ：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。
7.求可导函数
f(x) 的极值的步骤：
(1) 确定函数的定义域。 (2) 求函数 f(x) 的导数 f '(x) (3) 求方程 f '(x) =0 的根
(4) 用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格， 检查 f /
( x) 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么
f(x) 在这个根处取得极大值；如
果左负右正，那么 f(x) 在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么 f(x) 在这个根处无极值
8.利用导数求函数的最值的步骤
:求 f ( x) 在 a,b 上的最大值与最小值的步骤如下：
⑴求 f (x) 在 a, b 上的极值；
⑵将 f (x) 的各极值与
f (a), f (b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；
9．求曲边梯形的思想和步骤
:分割
近似代替
求和
取极限
（ “以直代曲 ”的思想）
10.定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
b
性质 1
1dx
a
b
a
b
性质 5
若 f (x)
0,x
a,b ，则
f ( x) dx
a
0
b
b
b b
①推广：
[ f1 (x)
a b
f2 (x)
f m ( x)]dx
f1( x)dxf 2 (x)dx
a
a
b
f m (x)a
c1 c2
②推广 :
f (x)dx
a
f ( x) dx
a
c 1
f ( x)dx
f ( x)dx
ck
11 定积分的取值情况: 定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0.
( l ) 当对应的曲边梯形位于 x 轴上方时，定积分的值取正值，且等于 x 轴上方的图形面积；
（2）当对应的曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的
值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数；
（3）当位于 x 轴上方的曲边梯形面积等于位于x轴下方的曲边梯形面积时，定积分的值为0，且等于 x 轴上方图形的面积减去下方的图形的面积．
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