第3章 3.2.2 利用空间向量求角和距离 删减版文库素材 - 图文 

题型2 利用空间向量求距离

例2：在棱长为1 的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C 的距离．

思维突破：欲求两条异面直线l1，l2之间的距离，可设与公垂线AB平行的向量为n，C，D分别是l1，l2上的任意两点，→|CD·n|则l1，l2之间的距离为AB＝|n|. 自主解答：如图D19，以DA，DC，DD1所在直线分别为 x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，C1(0,1,1)，C(0,1,0)． 图D19 →→于是A1C1＝(－1,1,0)，B1C＝(－1,0，－1)． →→设与A1C1，B1C的公垂线平行的向量为n＝(x，y，z)， →???n·A1C1＝0，?－x＋y＝0，则?即? ?→－x－z＝0，??B1C＝0，?n· 取x＝1，得n＝(1,1，－1)． →又∵A1B1＝(0,1,0)， →|n·A1B1|13∴A1C1与B1C的距离d＝|n|＝＝3. 3【变式与拓展】

2．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝2，AA1＝1，则

点A 到平面A1BC 的距离为(B)

333 3A．4 B．2 C．4 D．3 解析：设BC中点为M，连接AM，则所求距离为△A1AMA1A·AM1·33的AM边上的高＝2. 22＝A1A＋AM1＋3