3．2．2 利用空间向量求角和距离
1．会利用向量求解线面角的大小．
2．会利用向量求点到点、点到线、点到面的距离．
3．会利用向量求线到线、线到面、面到面的距离．
?π??0，? 1．两条异面直线所成角的取值范围是____________．2???π??0，? 2．直线与平面所成角的范围是____________．2??3．二面角的平面角的取值范围是____________．[0，π] 4．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”．(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题向量问题．中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为__________
向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系(2)通过__________
以及它们之间距离和夹角等问题．
(3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
【要点1】利用空间向量求角．
【剖析】(1)利用空间向量求线线角、线面角的关键是将其转化为直线的方向向量之间、直线的方向向量与平面的法向量之间的角．
(2)利用空间向量求二面角的两种方法：
①找到或作出二面角的平面角，然后利用向量去计算其大小；
②利用二面角的两个平面的法向量所成的角与二面角的平面角的关系去求，此时需要依据图形特点建立适当的空间直角坐标系．
【要点2】如何用向量法求点到面的距离？【剖析】(1)求出该平面的一个法向量；
(2)找出从该点出发到平面的任一条斜线段对应的向量；(3)求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值，再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离．
线面距离、面面距离均可转化为点面距离，用点面距离的方法进行求解．
【常用公式】 1．三种空间角的向量法计算公式(设a，b是直线a，b的方向向量)： (1)异面直线a，b所成的角θ：cos θ＝|cos〈a，b〉|. (2)直线a与平面α(法向量n)所成的角θ：sin θ＝|cos〈a，n〉|. (3)锐二面角θ：cos θ＝|cos〈m，n〉|，其中m，n分别为两个平面的法向量；钝二面角θ＝π－〈m，n〉．
第3章 3.2.2 利用空间向量求角和距离 删减版文库素材 - 图文
