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题组层级快练(五十三)
1．(2019·广东五校协作体诊断考试)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A．若α⊥β，m?α，n?β，则m⊥n C．若m⊥n，m?α，n?β，则α⊥β 答案 B
解析 A项，若α⊥β，m?α，n?β，则m∥n与m，n与异面直线均有可能，不正确；C项，若m⊥n，m?α，n?β，则α，β有可能相交但不垂直，不正确；D项，若α∥β，m?α，n?β，则m，n有可能是异面直线，不正确，故选B.
2．设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则a⊥b的一个充分不必要条件是( )
A．a⊥c，b⊥c C．a⊥α，b∥α 答案 C
解析 对于C，在平面α内存在c∥b，因为a⊥α，所以a⊥c，故a⊥b；A，B中，直线a，b可能是平行直线，相交直线，也可能是异面直线；D中一定推出a∥b. 3．(2019·江西南昌模拟)如图，在四面体ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么D在平面ABC内的射影H必在( ) A．直线AB上 C．直线AC上 答案 A
解析 由AB⊥AC，BD⊥AC，又AB∩BD＝B，则AC⊥平面ABD，而AC?平面ABC，则平面ABC⊥平面ABD，因此D在平面ABC内的射影H必在平面ABC与平面ABD的交线AB上，故选A.
4．(2019·江西临安一中期末)三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直于底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
①CC1与B1E是异面直线；
②AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1； 1
B．直线BC上 D．△ABC内部 B．α⊥β，a?α，b?β D．a⊥α，b⊥α
B．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β D．若α∥β，m?α，n?β，则m∥n
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③AC⊥平面ABB1A1； ④A1C1∥平面AB1E. A．② C．①④ 答案 A
解析 对于①，CC1，B1E都在平面BB1C1C内，故错误；对于②，AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，底面三角形ABC是正三角形，E是BC中点，所以AE⊥BC，又B1C1∥BC，故AE⊥B1C1，故正确；对于③，上底面ABC是一个正三角形，不可能存在AC⊥平面ABB1A1，故错误；对于④，A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故错误．故选A.
5．(2019·福建泉州质检)如图，在下列四个正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G均为所在棱的中点，过E，F，G作正方体的截面，则在各个正方体中，直线BD1与平面EFG不垂直的是( )
B．①③ D．②④
答案 D
解析 如图，在正方体中，E，F，G，M，N，Q均为所在棱的中点，且六点共面，直线BD1与平面EFMNQG垂直，并且A项，B，C中的平面与这个平面重合，满足题意．对于D项中图形，由于E，F为AB，A1B1的中点，所以EF∥BB1，故∠B1BD1为异面直线EF与BD1所成的角，且tan∠B1BD1＝2，即∠B1BD1不为直角，故BD1与平面EFG不垂直，故选D.
6．(2019·保定模拟)如图，在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是( ) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC
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答案 D
解析 因BC∥DF，DF?平面PDF，BC?平面PDF，所以BC∥平面PDF，A成立；易证BC⊥平面PAE，BC∥DF，所以结论B，C均成立；点P在底面ABC内的射影为△ABC的中心，不在中位线DE上，故结论D不成立．
7.已知直线PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面，C为圆上异于A，B的任一点，则下列关系中不正确的是( )
A．PA⊥BC C．AC⊥PB 答案 C
解析 AB为直径，C为圆上异于A，B的一点，所以AC⊥BC.因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC.因为PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC，从而PC⊥BC.故选C.
8.如图，在三棱锥D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( )
B．BC⊥平面PAC D．PC⊥BC
A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE 答案 C
解析 因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.
9．(2019·沧州七校联考)如图所示，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确的是( )
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A．CD∥平面PAF C．CF∥平面PAB 答案 D
解析 A中，∵CD∥AF，AF?面PAF，CD?面PAF，∴CD∥平面PAF成立；B中，∵六边形ABCDEF为正六边形，∴DF⊥AF.又∵PA⊥面ABCDEF，∴DF⊥平面PAF成立；C中，CF∥AB，AB?平面PAB，CF?平面PAB，∴CF∥平面PAB；而D中CF与AD不垂直，故选D.
10．(2019·重庆秀山高级中学期中)如图，点E为矩形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有( ) ①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行；③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA.
B．DF⊥平面PAF D．CF⊥平面PAD
A．1个 C．3个 答案 A
解析 ①若直线SA⊥平面SBC，则SA⊥SC，又SA⊥SE，SE∩SC＝S，∴SA⊥平面SEC，又平面SEC∩平面SBC＝SC，∴点S，E，B，C共面，与已知矛盾，故①错误；②∵平面SBC∩直线SA＝S，故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；③在平面ABCD内作CF∥AE，交AB于点F，由线面平行的判定定理，可得CF∥平面SAE，故③正确；④若SE⊥BA，过点S作SF⊥AE于点F，∵平面SAE⊥平面ABCE，平面SAE∩平面ABCE＝AE，∴SF⊥平面ABCE，∴SF⊥AB，又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEC，∴AB⊥AE，与∠BAE是锐角矛盾，故④错误．
11．(2019·泉州模拟)点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的面对角线BC1上运动，给出下列命题：
B．2个 D．4个
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①三棱锥A－D1PC的体积不变； ②A1P∥平面ACD1； ③DB⊥BC1；
④平面PDB1⊥平面ACD1. 其中正确的命题序号是________． 答案 ①②④
解析 对于①，VA－D1PC＝VP－AD1C点P到面AD1C的距离，即为线BC1与面AD1C的距离，为定值故①正确，对于②，因为面A1C1B∥面AD1C，所以线A1P∥面AD1C，故②正确，对于③，DB与BC1成60°角，故③错．对于④，由于B1D⊥面ACD1，所以面B1DP⊥面ACD1，故④正确．
12．(2019·山西太原一模)已知在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，AB＝2AD＝2CD＝2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D－ABC，当三棱锥D－ABC的体积取最大值时，其外接球的体积为________． 4答案 π
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解析 当平面DAC⊥平面ABC时，三棱锥D－ABC的体积取最大值．此时易知BC⊥平面DAC，∴BC⊥AD，又AD⊥DC，∴AD⊥平面BCD，∴AD⊥BD，取AB的中点O，易得OA＝OB＝OC＝OD＝1，故O为所求外接球的球心，故半径r＝1，体积V＝4πr3＝π.
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13．(2019·辽宁大连双基测试)如图所示，∠ACB＝90°，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D－AEF体积的最大值为________． 答案
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解析 因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF，又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB，又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D－AEF的高．因5
2020版高考数学理一轮总复习层级快练第八章立体几何作业53
