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2001年全国普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)若sin?cos??0，则θ在
(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第一、四象限 (D)第二、四象限 (2)过点A(1，-1)，B(-1，1)且园心在直线x+y-2=0上的圆珠笔的方程是 (A)(x-3)2+(y+1)2=4 (B)(x+3)2+(y-1)2=4 (C)(x-1)2+(y-1)2=4 (B)(x+1)2+(y+1)2=4
(3)设{an}是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 (A)1 (B)2 (C)4 (D)6
(4)若定义在区间(-1，0)内的函数f(x)= log2a(x＋ 1)满足f(x)＞ 0，则 a的取值范围是 (A)(0，
111) (B) (0，] (C) (，+∞) 222(D) (0，+∞)
(5)极坐标方程??2sin???4)的图形是
(6)函数y?cosx?1(???x?0)的反函数是 (A) y??arccos(x?1)(0?x?2)
(B) y???arccos(x?1)(0?x?2)
(C) y?arccos((D) y???arccos(x?1)(0?x?2) x?1)(0?x?2)
(7)若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为 (A)
3 4(B)
2 3(C)
1 2(D)
1 4(8)若0?????(A)a
?4,sin??cos??a,sin??cos??b，则
(A)ab<1
(D)ab>2
(A)a>b
(9)在正三棱柱ABC－A1 B1C1中，若AB=2BB1，则AB与C1B所成的角的大小为 (A)60° (B)90° (C)105° (D)75°
(10)设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：
①若f(x)单调速增，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递增; ②若f(x)单调速增，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递增; ③若f(x)单调速减，g(x)单调速增，则f(x)-g(x))单调递减;
④若f(x)单调速减，g(x)单调速减，则f(x)-g(x))单调递减; 其中，正确的命题是 (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
(11)一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：①单向倾斜；②双向倾斜；③四向倾斜．记三种盖法屋顶面积分别为P1、P2、P3．
若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则 (A)P3>P2>P1 (B) P3>P2=P1 (C) P3=P2>P1 (D) P3=P2=P1
(12)如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表承它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B传递信息，信息可以分开沿不同的 精品文档
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路线同时传递．则单位时间内传递的最大信息量为
(A)26； (B)24； (C)20； (D)19
二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．
(13)若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的侧面积是_________．
x2y2??1的两个焦点为F1、(14)双曲线F2，点P在双曲线上．若PF⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。 916(15)设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．若{Sn}是等差数列，则q＝＿． (16)园周上有几个等分点(n＞ 1)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为________． 三．解答题：本大题共6小题共74分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． (17)(本小题满分12分)
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC=90°， SA⊥面ABCD，SA＝ AB＝ BC= 1，AD=
1． 2 ( I)求四棱锥S-ABCD的体积；
( 11)求面 SCD与面 SBA所成的二面角的正切值． (18)(本小题满分12分)
已知复数z1= i (1-i)3 (I)求arg z1及| z1|
(II)当复数z满足|z|＝l，求|z-z1|的最大值． (19)(本小题满分12分)
设抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点．点 C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O． (20)(本小题满分12分)
已知i，m，n是正整数，且1＜i≤m＜n (I)证明nipim＜mipin； 门)证明(1+m)n>(1+n)m． (21)(本小题满分12分)
从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投
1．本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的51促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加．
4入800万元，以后每年投入将比上年减少
(I)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元．写出 an，bn的表达式； (II)至少经过几年旅游业的总收入才能超过总投入？ (22)(本小题满分14分)
设f(x)是定义在 R上的偶函数，其图象关于直线x＝ 1对称，对任意x1；，x2 ∈[0， f(x1+x2)=f(x1)f(x2)． (I)求f(
1]，都有 211)及f()；
421)，求lim(lnan)．
n??2n (II)证明f(x)是周期函数；
(III)记 an= f(2n+
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数学试题(理工农医类)参考答案及评分标准
一．选择题：本题考查基本知识和基本运算．每小题5分，满分60分． (1)B (2)C (3)B (4)A (5)C (6)A (7)C (8)A (9)B (10)C (11)D (12)D
二．填空题：本题考查基本知识和基本运算．每小题4分．满分16分． (13)2π
(14)
16 5 (15)1 (16)2n(n－1)
三．解答题．
(17)本小题考查线面关系和棱锥体积计算，以及空间想象能力和逻辑推理能力．满分12分． 解：(I)直角梯形ABCD的面积是 M底面=
11?0.53 ( BC+AD)AB＝?1? ……2分 224 ∴四棱推S-ABCD的体积是
1131V??SA?M底面??1?? ……4分
3344(II)延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱 ……6分
∵AD∥BC，BC=2AD ∴EA=AB=SA，∴SE⊥SB ∵SA⊥面ABCD，得面ASB⊥面ESC，EB是交线， 又BC⊥EB，∴BC⊥面SEB， 故SB是CS在面SEB上的射影， ∴CS⊥SE，
所以∠BSC是所求二面角的平面角． ……10分
?SB?SA2?AB2?2,BC?1,BC?SB?tg?BSC?2。 2BC2? SB2
……12分
即所求二面角的正切值为
(18)本小题考查复数的基本性质和基本运算，以及分析问题和解决问题的能力．满分12分．
解:(I)z1|z?z1|2?i(1?i)3?2?2i将z1化成三角形式,得z1?22(cos3分7?7?7?isin),?arcz1?,|z1|?22444(II)设z?cos??isin?,则z?z1?(cos??2)?(sin??2)i|z?z1|2?(cos??2)2?(sin??2)2?9?42sin(??)4
?9分12分当sin(??)?1时,|z?z1|2取最大值9?42从而得到|z?z1|的最大值为22?14 (19)本小题考查抛物线的概念和性质，直线的方程和性质，运算能力和逻辑推理能力．满分12分． 证明一：
因为抛物线y2=2pc(p>0)的焦点为F(
?pp,0)，所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+ 22代人抛物线方程得 y2-2pcmy-p2=0
若记A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，y2是该方程的两个根，所以 精品文档
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y1y2= -p2
因为BC∥x轴，且点C在准线x=-
p上，所以点C的坐标 2 为(-
y2py1p? ，y2)，故直线CO的斜率为k?2?py1x12?2即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O． 证明二：如图，记x轴与抛物线准线l的交点为E， 过A作AD⊥l，D是垂足．则 AD∥FE∥BC． ……2分 连结AC，与EF相交手点N，则
|EN||CN||BF|??,|AD||AC||AB|
|NF||AF|? |BC||AB|……8分
根据抛物线的几何性质，|AF|=|AD|，|BF|=|BC|
?|EN|?|AD|?|BF||AF|?|BC|??|NF|,
|AB||AB| 即点N是EF的中点，与抛物线的顶点O重合，所以直线AC经过原点O． ……12分
(20)本小题考查排列、组合、二项式定理、不等式的基本知识和逻辑推理能力．满分12分．
i(I)证明对于:?1i?m有,pm?m?ipmmm?1???immm?m(?i?1),
ipnm?i?1nn?1n?i?1?,同理i????,4分mnnnniipnpmn?km?kiiii由于m?n,对整数k?1,2,i?,有1,?所以,?即m,p?npmniinmnmnm分6i(II)证明:由二项式定理有(1?m)??mC,(1?n)??niCm,niinmi?0i?0iPmPnii而C?,Cn?i!i!imi因此?mC??niCm.iini?2i?2mm由(I)知mP?nP(1?i?m?n),所以mC?nC(1?i?m?n).iiniimiiniim10分
0011i又m0Cn?n0Cm,mCn?nCm?mn,miCn?0(m?i?n).i??mC??niCm.iini?0i?0mm即(1?m)n?(1?n)m.12分(21)本小题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力．满分12分．
解．(I)第1年投入为800万元．第2年投入为800×(1- 800×(1-
1)万元，……，第n年投入为 51n-1
)万元. 5
所以，n年的总收入为 精品文档
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1an?800?800?(1?)?5
1n?1n14?800?(1?)??800?(1?)k?1?4000?[1?()n];555k?13分
第 1年旅游业收入为 400万元，第 2年旅游业收入为 400 ×(1+
业收人为400×(1+
1)万元，……，第n年旅游 41n-1
) 万元．所以，n年内的旅游业总收入为 41n?1n14?400?(1?)??400?(1?)k?1?1600?[()n?1];445k?16分
1bn?400?400?(1?)?4
(11)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入，由此
4444bn?an?0即1600?[()n?1]?4000?[1?()n]?0化简得5?()n?2?()n?7?09分55554242设x?()n,代入上式5x2?7x?2?0解此不等式得x?,x?1(舍去)即()n?,由此得n?55555
答：至少经过5年旅游业的总收入才能超过总投入 …12分
(22)本小题主要考查函数的概念、图象，函数的奇偶性和周期性以及数列极限等基础知识；考查运算能力和逻辑思维能力，满分14分．
1xx(I)解:因为x1,x2?[0,],都有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),所以f(x)?f()?f()?0,x?[0,1].22211111111111f(1)?f(,)?f()?f()?[f()]2,f()?f(,)?f()?f()?[f()]2,3分222222444441111f(1)?a?0f()?a2,f()?a4.6分24
(II)证明:依题意y?f(x)关于直线x?1对称,故f(x)?f(x?1?x),即f(x)?f(2?x),x?R,??8分
又由f(x)是偶函数知f(?x)?f(x),x?R,?f(?x)?f(2?x),x?R,将上式中的?x以x代换,得f(x)?f(x?2),x?R这表明f(x)是R上的周期函数,且2是它的一个周期.
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最新2001年高考数学试题(全国理)及答案
