专题七 函数综合题
类型一 反比例函数与一次函数的综合题
1m
－4，?，B(－1，2)是一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(m≠0，1．如图，已知A?2??xx＜0)的图象的两个交点，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D.
m
(1)根据图象直接写出在第二象限内，当x取何值时，kx＋b>；
x(2)求一次函数的解析式及m的值；
(3)P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P的坐标．
m
解：(1)由图象，得当－4＜x＜－1时，kx＋b>.
x
1
－4，?，(－1，2)， (2)∵一次函数y＝kx＋b的图象过点?2??1??k＝2，?－4k＋b＝2，
则?解得?
5??－k＋b＝2.?b＝2.15
∴一次函数的解析式为y＝x＋.
22
m
∵反比例函数y＝的图象过点(－1，2)，∴m＝－1×2＝－2.
x15x，x＋?， (3)如图，设P??22?15111
2－x－?， 由△PCA和△PDB面积相等，得××(x＋4)＝×－1×??22?222
1
||
555155
－，?. 解得x＝－.∴y＝x＋＝，∴点P的坐标为??24?2224
2.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx＋b(k≠0)的图象与反比例函数y2＝(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A(3，5)，B(a，－3)两点，与x轴交于点C．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)在y轴上找一点P使PB－PC最大，并求出PB－PC的最大值及点P的坐标； (3)直接写出当y1＞y2时，x的取值范围．
m
x
m
解：(1)把A(3，5)代入y2＝(m≠0)，可得m＝3×5＝15，
x∴反比例函数的解析式为y2＝
15. x
15
把点B(a，－3)代入y2＝，可得a＝－5，
x
∴B(－5，－3)．把A(3，5)，B(－5，－3)代入y1＝kx＋b中，
???3k＋b＝5，?k＝1，得?解得?
－5k＋b＝－3.b＝2.????
∴一次函数的解析式为y1＝x＋2.
(2)一次函数的解析式为y1＝x＋2，令x＝0，则y＝2，
∴一次函数与y轴的交点为P(0，2)，此时，PB－PC＝BC最大，P即为所求，令y＝0，则x＝－2，
∴C(－2，0)，∴BC＝的坐标为(0，2)．
(3)当y1＞y2时，－5＜x＜0或x＞3.
（－5＋2）2＋32＝32，即PB－BC的最大值为32，且点P
类型二 反比例函数与几何的综合题
9k
1．如图，双曲线y＝(x＞0)经过矩形OABC的顶点B，双曲线y＝(x＞0)交AB，BC
xx于点E，F，且与矩形的对角线OB交于点D，连接EF.若OD∶OB＝2∶3，求△BEF的面积．
解：设D(2m，2n)，∵OD∶OB＝2∶3，∴A(3m，0)，C(0，3n)．∴B(3m，3n)． 9
∵双曲线y＝(x＞0)经过矩形OABC的顶点B，∴9＝3m·3n，即mn＝1.
xk
∵双曲线y＝(x＞0)经过点D，∴k＝4mn.
x44
3m，n?，F?m，3n?. ∴E?3???3?
4545∴BE＝3n－n＝n，BF＝3m－m＝m.
333312525
∴S△BEF＝BE·BF＝mn＝.
21818
2．如图，在直角坐标系中，Rt△ABC的直角边AC在x轴上，∠ACB＝90°，AC＝1，k
点B(3，2)，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过BC边的中点D.
x
(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)若△ABC与△EFG成中心对称，且△EFG的边FG在y轴的正半轴上，点E在这个函数的图象上．
①求OF的长；
②连接AF，BE，求证：四边形ABEF是正方形．
(1)解：∵点B(3，2)，BC边的中点为D，∴点D(3，1)． k
∵反比例函数y＝(k＞0)的图象经过点D(3，1)，∴k＝3×1＝3，
x3
∴反比例函数的表达式为y＝.
x
中考数学专题复习(有答案) 函数综合题
