2013“北约”自主招生试题
2013-03-16
(时间90分钟,满分120分)
一、选择题(每题8分,共48分)
1.以2和1?32为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( ) A. 2 B. 3 C. 5 D. 6 【解】由x1?2,可知x2?2,同理由1?32?x可知(1?x)3?2; 所以方程(x2?2)[(1?x)3?2]?0的次数最小,其次数为5,故选C.
2.在6?6的表中停放3辆完全相同的红色和3辆完全相同的黑色车,每一行每一列只有一辆车,每辆车只占一格,共有 种停放方法.
A. 720 B. 20 C. 518400 D. 14400 【解】红色车选3列有C63?20种方法,再从这三列中选三行有C63?20种方法,另外将红色车放在已选好的三列三行中有3?2?6种方法,同理黑色车只能从剩下的三行三列九个格中选,也有3?2?6种方法,因此方法数有(20?20?6)?6?14400种.故选D. 3.已知x2?2y?5,y2?2x?5(x?y),则x3?2x2y2?y3值为( ) A. ?10 B. ?12 C. ?14 D. ?16
【解】由x2?2y?5与y2?2x?5两式作差得x?y??2(x?y),代入两式中分别化出 x2?2x?1?0、y2?2y?1?0,所以x,y是方程t2?2t?1?0的两个不等实根,于是
2,xy??1 x?y??,也所以
? x3?2x2y2?y3?(x?)y[(x22y)?3xy]?2(xy)??(2?)?7.?2?D. 16故选
4.在数列{an}中,a1?1,Sn?1?4an?2(n?1),则a2013值为( )
A. 3019?22012 B. 3019?22013 C. 3018?22012 D. 无法确定 【解】由a1?1,Sn?1?4an?2(n?1)……①可知,
当n?1时,S2?4a1?2,所以a2?5;
当n?2时,有Sn?4an?1?2(n?2)……②,由①-②式得,
an?1?4an?4an?1(n?2),即an?1?2an?2(an?an?1)(n?2),且a2?2a1?3
所以an?1?2an?3?2n?1(n?N*),同除以2n得,所以
an?1an3a1,且???1;
2n2n?1220an?132012n?2012,故令时,得a?2?3019,故选A. ?1?n2013n225.在?ABC中,D为BC中点,DM平分?ADB交AB于点M,DN平分?ADC交AC于N,
则BM?CN与MN的关系为( ) A.BM?CN?MN B.MN?CN?MN C.BM?CN?MN
D.无法确定
【解】如图,在DA取DE?DB,连接ME,NE,MN
则显然可证ME?MB,EN?NC,
且有ME?NE?MN,即BM?CN?MN,
上述不等式当且仅当?MED??DEN?180, 也即?B??C?180?,
这显然与三角形内角和定理矛盾,故等号取不到, 也即选A.
?B M D
A B M E A N
C
D
N
C
6.模长都为1的复数A,B,C满足A?B?C?0,则
BC?AC?AB的模长为( )
A?B?CA. ? B. 1 C. 2 D. 无法确定 【解】由题知AA?BB?CC?1,所以
12BC?AC?ABBC?AC?ABBC?AC?AB??,
A?B?CA?B?CA?B?CBC?AC?ABBC?AC?ABBC?AC?AB??也即
A?B?CA?B?CA?B?C ?223?BA?CA?AB?CB?AC?BC?1,故选B.
3?AB?AC?BA?BC?CA?CB二、解答题(每题18分,共72分)
7.最多能找多少个两两不相等的正整数使其任意三个数之和为质数,并证明你的结论. 【解】:至多有4个.首先可以取1,3,7,9这四个数,它们任意三个数之和分别为11,13,17,19符合质数定义.下面再证明5个正整数是不符合题意的.
若有5个正整数,则考虑质数被3除的余数,如果有一个数的余数为0,那么考虑余下的4个数被3除的余数,如果余数既有1也有2,那么这两个数与前面余数为0的数的和刚好为3
的倍数,故不符合题意,如果余下四个数的余数均相等,显然取余下四个数中的三个数,则这三个数的和为3的倍数不是质数,也不符合题意,如果这5个数被3除的余数都不等于3,则由抽屉原理,至少有3个数被3除的余数相同,这三个数的和是3的倍数不是质数,也不符合题意.综上可知,不存在5个正整数符合题意,即至多有4个正整数符合题意. 8.已知a1?a2?a3???a2013?0,且|a1?2a2|?|a2?2a3|???|a2013?2a1| 证明:a1?a2?a3???a2013?0.
【证明】:观察可知a1?a2?a3???a2013?0,
即(2a2?a1)?(2a3?a2)???(2a2013?a2012)?(2a1?a2013)?0……① 又|a1?2a2|?|a2?2a3|???|a2013?2a1|,不妨设|a1?2a2|?t,
则①可写为kt?(2013?k)t?0(0?k?2013,k?N),即(2k?2013)t?0, 又显然2k?2013?0,则有t?0,于是有
a1?2a2,a2?2a3,?,a2012?2a2013,a2013?2a1,所以a1?22013a1,即a1?0.
也所以a1?a2?a3???a2013?0,即证.
9.对于任意?,求32cos6??cos6??6cos4??15cos2?的值. 【解】32cos6??cos6??6cos4??15cos2? ?32(1?cos?23)?co?s6?23c?os?26?co?s421? 5cos2?4cos?2?)26 c?os410 ?4(1?c3os?2?3?co?s23)?(3?cos?215coos?2? ?4?12c26c?os?4?4?6(1?c?os4?)?6co. s4即求
10.有一个m?n的数表,已知每一行的数均是由小到大排列.现在将每一列的数由小到大重
新排列,则新的数表中每一行的数满足什么样的关系？请证明你的结论.
〖原题叙述〗:已知有m?n个实数,排列成m?n阶数阵,记作{aij}m?n,使得数阵中的每一行从左到右都是递增的,即对意的i?1,2,3,?,m,当j1?j2时,都有aij1?aij2.现将{aij}m?n的每一
?}m?n,即对列原有的各数按照从上到下递增的顺序排列,形成一个新的m?n阶数阵,记作{aij?}m?n中每一行的n个数的大小关任意的i?1,2,3,?,n,当i1?i2时,都有ai??ai?2j.试判断{aij1j系,并说明理由.
2013年北约自主招生试题及答案解析版
